Vikipedio:Projekto matematiko/Singulara valora malkomponaĵo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Singulara valora malkomponaĵo
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En lineara algebro singulara valora malkomponaĵo (_SVD_) estas grava faktorigo de rektangula (reala, reela) aŭ kompleksa matrico, kun kelkaj aplikoj en signal-prilaborado kaj statistiko. En iu respekto ĉi tiu matrica malkomponaĵo estas simila al la diagonaligo de simetria aŭ Hermita matrica uzanta bazo de (ajgenvektoroj, ajgenvektoras) donita per la spektra teoremo, sed la du (malkomponaĵoj, malkomponaĵas) havi en ĝenerala iom malsamaj signoj kaj devus ne esti konfuzita (eĉ, ebena, para) kvankam ili estas rilatanta.

Enhavo

1 (Propozicio, Frazo, Ordono) de la teoremo
2 Singularo (valoroj, valoras), singularo (vektoroj, vektoras), kaj ilia rilato al la _SVD_
3 Rilato al ajgena malkomponaĵo
4 Geometria signifo
5 Reduktita _SVDs_
6 (Normoj, Normas)
7 Aplikoj de la _SVD_
8 Kalkulado de la _SVD_
9 Historio
10 Vidi ankaŭ
11 Ekstera (ligoj, ligas)
12 Referencoj

[redaktu] (Propozicio, Frazo, Ordono) de la teoremo

Supozi M estas m-per-n matrico kies elementoj veni de la kampo K, kiu estas ĉu la kampo de reelaj nombroj aŭ la kampo de kompleksaj nombroj. Tiam tie ekzistas faktorigo de la (formo, formi)

$M = U\Sigma V^*, \,\!$

kie U estas m-per-m unuargumenta matrico super K, la matrico Σ estas m-per-n kun nenegativaj nombroj sur la diagonalo kaj nuloj for la diagonalo, kaj V^* signifas la konjugita transpono de V, n-per-n unuargumenta matrico super K. Tia faktorigo estas (nomita, vokis) singularo-valora malkomponaĵo de M.

La matrico V tial enhavas aro de perpendikulara "(enigo, enigi)" aŭ "analizanta" bazo-vektoro (direktoj, instrukcio) por M
La matrico U enhavas aro de perpendikulara "(eligi, eligo)" bazo-vektoro (direktoj, instrukcio) por M
La matrico Σ enhavas la singularo (valoroj, valoras), kiu povas esti penso de kiel skalaro "(konkeri, gajni) regas" per kiu ĉiu (korespondanta, respektiva) (enigo, enigi) estas (obligita, multiplikita) al doni (korespondanta, respektiva) (eligi, eligo).

Unu kutime insistas (tiu, ke, kiu) la (valoroj, valoras) Σ_mi,mi esti (mendita, ordita) en ne-pligrandiĝanta (modo, maniero). En ĉi tiu (kesto, okazo), la diagonala matrico Σ estas unike difinita per M (kvankam la matricoj U kaj V estas ne).

[redaktu] Singularo (valoroj, valoras), singularo (vektoroj, vektoras), kaj ilia rilato al la _SVD_

Nenegativa reela nombro σ estas singulara valoro por M se kaj nur se tie ekzisti ununormigita (vektoroj, vektoras) u en K^m kaj v en Kⁿ tia (tiu, ke, kiu)

$Mv = \sigma u \,\mbox{ and } M^*u = \sigma v. \,\!$

La (vektoroj, vektoras) u kaj v estas (nomita, vokis) (maldekstre, restita)-singularo kaj (ĝusta, dekstra, rajto)-singularo (vektoroj, vektoras) por σ, respektive.

En (ĉiu, iu) singulara valora malkomponaĵo

$M = U\Sigma V^* \,\!$

la diagonalaj elementoj de Σ estas bezone egala al la singularo (valoroj, valoras) de M. La kolumnoj de U kaj V estas (maldekstre, restita)- _resp_. (ĝusta, dekstra, rajto)-singularo (vektoroj, vektoras) por la (korespondanta, respektiva) singularo (valoroj, valoras). (Sekve, Sinsekve), la pli supre teoremaj ŝtatoj (tiu, ke, kiu)

An m × n matrico M havas almenaŭ unu kaj maksimume $p = min(m, n)$ klara singularo (valoroj, valoras).

Ĝi estas ĉiam ebla al trovi (unita (ankaŭ unuohava [ringo], unuargumenta) bazo por K^m konsistanta de (maldekstre, restis)-singularo (vektoroj, vektoras) de M.

Ĝi estas ĉiam ebla al trovi (unita (ankaŭ unuohava [ringo], unuargumenta) bazo por Kⁿ konsistanta de (ĝusta, dekstra, rajto)-singularo (vektoroj, vektoras) de M.

Singulara valoro por kiu ni povas trovi du (maldekstre, restita) (aŭ (ĝusta, dekstra, rajto)) singularo (vektoroj, vektoras) (tiu, ke, kiu) estas ne lineare dependa estas (nomita, vokis) degeneri.

Ne-degeneri singularo (valoroj, valoras) ĉiam havi unika (maldekstre, restis) kaj (ĝusta, dekstra, rajto) singularo (vektoroj, vektoras), supren al multipliko per unua faza faktoro e^miφ (por la (reala, reela) (kesto, okazo) supren al signo). (Sekve, Sinsekve), se ĉiu singularo (valoroj, valoras) de M estas ne-degeneri kaj ne-nulo, tiam ĝia singulara valora malkomponaĵo estas unika, supren al multipliko de kolumno de U per unua faza faktoro kaj samtempa multipliko de la (korespondanta, respektiva) kolumno de V per la sama unua faza faktoro.

Degeneri singularo (valoroj, valoras), per difino, havi ne-unika singularo (vektoroj, vektoras). Plue, se $u 1$ kaj $u 2$ estas du (maldekstre, restita)-singularo (vektoroj, vektoras) kiu ambaŭ esti konforma laŭ la singulara valoro $σ$ , tiam (ĉiu, iu) ununormigita lineara kombinaĵo de la du (vektoroj, vektoras) estas ankaŭ (maldekstre, restis) singulara vektoro (korespondanta, respektiva) al la singulara valoro $σ$ . La simila (propozicio, frazo, ordono) estas vera por (ĝusta, dekstra, rajto) singularo (vektoroj, vektoras). (Sekve, Sinsekve), se M havas degeneri singularo (valoroj, valoras), tiam ĝia singulara valora malkomponaĵo estas ne unika.

[redaktu] Rilato al ajgena malkomponaĵo

La singulara valora malkomponaĵo estas tre ĝenerala en la (senso, senco) (tiu, ke, kiu) ĝi povas esti aplikita al (ĉiu, iu) m × n matrico. La ajgena malkomponaĵo, aliflanke, povas nur esti aplikita al (certaj klasoj de) kvadrataj matricoj. Tamen, la du (malkomponaĵoj, malkomponaĵas) estas rilatanta.

En la speciala okazo (tiu, ke, kiu) M estas Hermita matrico kiu estas pozitiva duone-definitiva, kio estas, ĉiuj ĝia (ajgenoj, ajgenas) estas (reala, reela) kaj nenegativa, tiam la singularo (valoroj, valoras) kaj singularo (vektoroj, vektoras) koincidi kun la (ajgenoj, ajgenas) kaj (ajgenvektoroj, ajgenvektoras) de M,

$M = V \Lambda V^*\,$

Pli ĝenerale, donita _SVD_ de M, jeno du rilatoj teni:

$M^{*} M = V \Sigma^{*} U^{*}\, U \Sigma V^{*} = V (\Sigma^{*} \Sigma) V^{*}\,$

$M M^{*} = U \Sigma V^{*} \, V \Sigma^{*} U^{*} = U (\Sigma \Sigma^{*}) U^{*}\,$

La (ĝusta, dekstra, rajto) manaj flankoj de ĉi tiuj rilatoj priskribi la ajgeno (malkomponaĵoj, malkomponaĵas) de la (maldekstre, restis) manaj flankoj. (Sekve, Sinsekve), la (kvadratoj, placoj, kvadratigas) de la ne-nula singularo (valoroj, valoras) de M estas egala al la ne-nulo (ajgenoj, ajgenas) de ĉu M^∗M aŭ Mm^∗. Plue, la kolumnoj de U ((maldekstre, restita) singularo (vektoroj, vektoras)) estas (ajgenvektoroj, ajgenvektoras) de Mm^∗ kaj la kolumnoj de V ((ĝusta, dekstra, rajto) singularo (vektoroj, vektoras)) estas (ajgenvektoroj, ajgenvektoras) de M^∗M.

[redaktu] Geometria signifo

Ĉar U kaj V estas (unita (ankaŭ unuohava [ringo], unuargumenta), ni scii (tiu, ke, kiu) la kolumnoj u₁,...,u_m de U liveri ortnormala bazo de K^m kaj la kolumnoj v₁,...,v_n de V liveri ortnormala bazo de Kⁿ (kun respekto al la normaj skalaraj produtoj sur ĉi tiuj (spacoj, kosmoj, spacetoj)).

La lineara transformo T: Kⁿ → K^m (tiu, ke, kiu) prenas vektoro x al _Mx_ havas aparte simpla priskribo kun respekto al ĉi tiuj ortnormala (bazas, bazoj): ni havi T(v_mi) = σ_mi u_mi, por mi = 1,...,min(m,n), kie σ_mi estas la miOna diagonalo (termo, koeficiento, elemento) de Σ, kaj T(v_mi) = 0 por mi > min(m,n).

La geometria enhavo de la _SVD_ teoremo povas tial esti resumita kiel sekvas: por ĉiu lineara surĵeto T: Kⁿ → K^m unu povas trovi ortnormala (bazas, bazoj) de Kⁿ kaj K^m tia (tiu, ke, kiu) T (mapoj, mapas) la miOna bazvektoro de Kⁿ al nenegativa multaj de la miOna bazvektoro de K^m, kaj sendas la (maldekstre, restis)-super bazvektoroj al nulo. Kun respekto al ĉi tiuj (bazas, bazoj), la mapo T estas pro tio (prezentita, prezentis) per diagonala matrico kun nenegativa (reala, reela) diagonalaj elementoj.

[redaktu] Reduktita _SVDs_

En aplika ĝi estas sufiĉe nekutima por la plena _SVD_, inkluzivanta plena (unita (ankaŭ unuohava [ringo], unuargumenta) malkomponaĵo de la nula-spaco de la matrico, al esti postulita. Anstataŭe, ĝi estas ofte sufiĉa (kaj ankaŭ pli rapida, kaj pli ekonomika por memoro) al komputi reduktita versio de la _SVD_. Jeno povas esti (distingita, invarianta, memkonjugita, normala, diferencigis) por m×n matrico M de rango r:

[redaktu] Maldika _SVD_

$M = U_n \Sigma_n V^{*} \,$

Nur la n kolumnaj vektoroj de U (korespondanta, respektiva) al la (linio, vico) (vektoroj, vektoras) de V* estas kalkulita. La ceteraj kolumnaj vektoroj de U estas ne kalkulita. Ĉi tiu estas grave pli rapida kaj pli ekonomika ol la plena _SVD_ se n<<m. La matrico U_n estas tial m×n, Σ_n estas n×n diagonalo, kaj V estas n×n.

La unua stadio en la kalkulo de maldika _SVD_ estos kutime esti QR malkomponaĵo de M, kiu povas direkti al grave pli rapida kalkulo se n<<m.

[redaktu] Kompakta _SVD_

$M = U_r \Sigma_r V_r^*$

Nur la r kolumnaj vektoroj de U kaj r (linio, vico) (vektoroj, vektoras) de V* (korespondanta, respektiva) al la ne-nula singularo (valoroj, valoras) Σ_r estas kalkulita. La cetera (vektoroj, vektoras) de U kaj V* estas ne kalkulita. Ĉi tiu estas pli rapida kaj pli ekonomika ol la maldika _SVD_ se r<<n. La matrico U_r estas tial m×r, Σ_r estas r×r diagonalo, kaj V_r* estas r×n.

[redaktu] Senpintigita _SVD_

$\tilde{M} = U_t \Sigma_t V_t^*$

Nur la t kolumnaj vektoroj de U kaj t (linio, vico) (vektoroj, vektoras) de V* (korespondanta, respektiva) al la t plej granda singularo (valoroj, valoras) Σ_r estas kalkulita. La cetera la matrico estas uzofinita. Ĉi tiu povas esti multa pli rapida kaj pli ekonomika ol la maldika _SVD_ se t<<r. La matrico U_t estas tial m×t, Σ_t estas t×t diagonalo, kaj V_t* estas t×n'.

Kompreneble la senpintigis _SVD_ estas jam ne akurata malkomponaĵo de la originala matrico M, sed kiel diskutis pli sube, la aproksimi matrico $\tilde{M}$ estas en tre utila (senso, senco) la plej proksima proksimuma kalkulado al M (tiu, ke, kiu) povas esti (efektivigita, atingita) per matrico de rango t.

[redaktu] (Normoj, Normas)

La (sumo, sumi) de la k plej granda singularo (valoroj, valoras) de M estas matrica normo, la _Ky_ Fervorulo k-normo de M. La _Ky_ Fervorulo 1-normo estas (justa, ĵus) la operatora normo de M kiel lineara operatoro kun respekto al la Eŭklida (normoj, normas) de K^m kaj Kⁿ. La kvadrata radiko de la (sumo, sumi) de (kvadratoj, placoj, kvadratigas) de la singularo (valoroj, valoras) estas la Frobenius-a normo de M.

[redaktu] Aplikoj de la _SVD_

[redaktu] Pseŭdoinverso

La singulara valora malkomponaĵo povas esti uzita por komputanta la pseŭdoinverso de matrico. Ja, la pseŭdoinverso de la matrico M kun singulara valora malkomponaĵo $M = U Σ V *$ estas

$M^+ = V \Sigma^+ U^*, \,$

kie Σ⁺ estas la transponi de Σ kun ĉiu nenulo (termo, koeficiento, elemento) (anstataŭigita, anstataŭigis) per ĝia (reciproka, reciprokaĵo, inverso). La pseŭdoinverso estas unidirekta al solvi lineara plej malgranda (kvadratoj, placoj, kvadratigas) (problemoj, problemas).

[redaktu] Limigo, kerno kaj rango

Alia apliko de la _SVD_ estas (tiu, ke, kiu) ĝi provizas eksplicita prezento de la limigo kaj kerno de matrico M. La (ĝusta, dekstra, rajto) singularo (vektoroj, vektoras) (korespondanta, respektiva) al nuliĝanta singularo (valoroj, valoras) de M (naski, generi) la kerno de M. La (maldekstre, restis) singularo (vektoroj, vektoras) (korespondanta, respektiva) al la ne-nulo _singluar_ (vektoroj, vektoras) de M (naski, generi) la limigo de M. Sekve de tio, la rango de M egalas la nombro de ne-nula singularo (valoroj, valoras) de M. En cifereca lineara algebro la singularo (valoroj, valoras) povas kutimi difini la efika rango de matrico, kiel (rondiganta, rondigo) eraro (majo, povas) (plumbo, konduki) al malgranda sed ne-nula singularo (valoroj, valoras) en rango manki matrico.

[redaktu] Matrica proksimuma kalkulado

Iuj praktikaj aplikoj (bezoni, bezono, necesa) al solvi la problemo de aproksimanta matrico $M$ kun alia matrico $\tilde{M}$ kiu havas specifa rango $r$ . En la (kesto, okazo) (tiu, ke, kiu) la proksimuma kalkulado estas bazita sur minimumiganta la Frobenius-a normo de la diferenco inter $M$ kaj $\tilde{M}$ sub la limigo (tiu, ke, kiu) $\mbox{rank}(\tilde{M}) = r$ ĝi (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) ekster (tiu, ke, kiu) la solvaĵo estas donita per la _SVD_ de $M$ , nome

$\tilde{M} = U \tilde{\Sigma} V^{\star}$

kie $\tilde{\Sigma}$ estas la sama matrico kiel $Σ$ escepti (tiu, ke, kiu) ĝi enhavas nur la $r$ plej granda singularo (valoroj, valoras) (la alia singularo (valoroj, valoras) estas (anstataŭigita, anstataŭigis) per nulo).

[redaktu] Alia (ekzemploj, ekzemplas)

La _SVD_ estas ankaŭ aplikis (mult)amplekse al la studi de linearaj inversaj problemoj, kaj estas utila en la analitiko de reguligaj manieroj kiel (tiu, ke, kiu) de _Tikhonov_. Ĝi estas larĝe uzita en statistiko kie ĝi estas rilatanta al ĉefa komponanta analitiko, kaj en signal-prilaborado kaj (formorekono, rekonado de ŝablonoj). Ĝi estas ankaŭ uzita en (eligi, eligo)-nur modala analitiko, kie la ne-(krustis, skalita) reĝimo (formoj, formas) povas esti difinita de la singularo (vektoroj, vektoras).

Unu apliko de _SVD_ al iom grandaj matricoj estas en cifereca vetera antaŭdiro, kie _Lanczos_ manieroj estas uzitaj al taksi la plej (lineare, linie, tutece) rapide kreskanta kelkaj (perturboj, perturbas) al la centra cifereca vetera antaŭdiro super donita komenca antaŭen tempo (periodo, punkto) -- ie la singularo (vektoroj, vektoras) (korespondanta, respektiva) al la plej granda singularo (valoroj, valoras) de la _linearised_ _propagator_ por la malloka vetero super (tiu, ke, kiu) tempa intervalo. La (eligi, eligo) singularo (vektoroj, vektoras) en ĉi tiu (kesto, okazo) estas tutaj veteraj sistemoj! Ĉi tiuj (perturboj, perturbas) estas tiam kuri tra la plena nelineara modelo al generi ensemblo antaŭdiri, donanta anso sur iu de la necerte (tiu, ke, kiu) devus lici por ĉirkaŭ la aktuala centra antaŭdiro.

[redaktu] Kalkulado de la _SVD_

La _LAPACK_ proceduro (subprogramo _DGESVD_ prezentas tipa (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) al la kalkulado de la singulara valora malkomponaĵo. Se la matrico havas pli (linioj, vicoj, linias, vicas) ol kolumnoj QR malkomponaĵo estas unua (aperis, plenumita). La faktoro R estas tiam reduktis al dudiagonala matrico. La deziris singularo (valoroj, valoras) kaj (vektoroj, vektoras) estas tiam fundamenti per plenumante _bidiagonal_ _QR_ ripeto, uzanta la _LAPACK_ rutino _DBDSQR_ (Vidi _Demmel_ kaj _Kahan_ por (detaloj, detalas)).

La GNU Scienca Biblioteko (oferas, ofertas) kvar funkcioj, unu kun la _Golub_-_Rinsch_ algoritmo, unu kun la aliigita _Golub_-_Rinsch_ algoritmo (pli rapida por matrico kun multa pli granda alto ol larĝo), unu kun unuflanka Jakobio _orthogonalization_ kaj unu kiu uzas nur ne-nula singularo (valoroj, valoras). Vidi la _GSL_ manlibra paĝo sur _SVD_.

[redaktu] Historio

La singulara valora malkomponaĵo estis originale ellaborita per diferencialo (geometriistoj, geometriistas), kiu deziris al difini ĉu (reala, reela) dulinearaj formoj povis esti farita egala al alia per sendependa perpendikulara (transformoj, transformas) de la du (spacoj, kosmoj, spacetoj) ĝi (agoj, agas, operacias, aktoj, aktas) sur. _Eugenio_ _Beltrami_ kaj _Camille_ (Jordanio, Jordano, Jordan) esplorita sendepende, en 1873 kaj 1874 respektive, (tiu, ke, kiu) la singularo (valoroj, valoras) de la dulinearaj formoj, (prezentita, prezentis) kiel matrico, (formo, formi) plenumi aro de (invariantoj, invariantas) por dulinearaj formoj sub perpendikulara (anstataŭoj, anstataŭas). Marmelada Jozefo _Sylvester_ ankaŭ (alvenis, veninta) je la singulara valora malkomponaĵo por (reala, reela) kvadrataj matricoj en 1889, (evidente, aparte, videble) sendependa de ambaŭ _Beltrami_ kaj (Jordanio, Jordano, Jordan). _Sylvester_ (nomita, vokis) la singularo (valoroj, valoras) la kanona (multiplikantoj, multiplikantas) de la matrico A. La kvara matematikisto al (malkovri, esplori) la singulara valora malkomponaĵo sendepende estas _Autonne_ en 1915, kiu (alvenis, veninta) je ĝi tra la polusa malkomponaĵo. La unua pruvo de la singulara valora malkomponaĵo por rektangula kaj kompleksaj matricoj aspektas al esti per _Eckart_ kaj Juna en 1939; ili (vidita, segilo, segi) ĝi kiel ĝeneraligo de la ĉefa aksa transformo por Hermitaj matricoj.

En 1907, _Erhard_ Schmidt-a difinis analoga de singularo (valoroj, valoras) por integralo (operatoroj, operatoras); ĝi aspektas li estis _unaware_ de la paralela laboro sur singularo (valoroj, valoras) de finiaj matricoj. Ĉi tiu teorio estis plui ellaborita per _Émile_ _Picard_ en 1910, kiu estas la unua al (voko, voki) la nombroj $σ k$ singularo (valoroj, valoras) (aŭ iom, _valeurs_ _singulières_).

[redaktu] Vidi ankaŭ

matrica malkomponaĵo
s-nombro
ĝeneraligita singulara valora malkomponaĵo
polusa malkomponaĵo
empiriaj perpendikularaj funkcioj (_EOFs_)
kanona korelacia analitiko (_CCA_)
latenta semantika analitiko

[redaktu] Ekstera (ligoj, ligas)

_LAPACK_ (uzantoj, uzantas) manlibro donas (detaloj, detalas) de proceduro (subprogramoj al kalkuli la _SVD_ (vidi ankaŭ [1]).
Aplikoj de _SVD_ sur (PC, Persona komputilo) _Hansen_'s (tTT-paĝaro, tTT-ejo).
Enkonduko al la Singulara Valora Malkomponaĵo per _Todd_ Estos de la Universitato de Viskonsino--_La_ _Crosse_.
_Los_ _Alamos_ grupa libra ĉapitro havas helpema gena datuma analitiko (ekzemploj, ekzemplas).
_MIT_ Prelego serio per _Gilbert_ _Strang_. Vidi Prelego #29 sur la _SVD_.
Ĝava apleto demonstracianta la _SVD_.
Ĝava scenaro demonstracianta la _SVD_ pli (mult)amplekse, alglui viaj datumoj de sterntabelo.
Ĉapitro de "Ciferecaj receptoj en C" donas pli informo pri realigo kaj aplikoj de _SVD_.
Surlinia Matrica Kalkulilo Plenumas singulara valora malkomponaĵo de matricoj.

[redaktu] Referencoj

_Demmel_ J. kaj _Kahan_ W. Komputanta Malgranda Singularo (Valoroj, Valoras) de _Bidiagonal_ Matricoj Kun Garantiis Alta Relativa Akurateco, _SIAM_ J. _Sci_. _Statist_. _Comput_. (volumeno, volumo). 11, ne. 5, 1990 _pp_. 873-912.
_Golub_, G. H. kaj Kamioneto (Prunti, Alprunti), C. F. Matrico (Kalkuladoj, Kalkuladas, Komputoj, Komputas), 3-a _ed_., (Johanoj, Johanas) _Hopkins_ Universitato Premi, _Baltimore_, 1996, ISBN 0801854148
_Hansen_, P. C., La senpintigis _SVD_ kiel maniero por reguligo, _BIT_, (volumeno, volumo). 27, 1987, _pp_. 534-553.
Korno, _Roger_ A. kaj _Johnson_, Karlo R. Matrica Analitiko, Sekcio 7.3. Kembriĝo (Britio) Universitato Premi, 1985. ISBN 0-521-38632-2.
Korno, _Roger_ A. kaj _Johnson_, Karlo R. Temoj en Matrica Analitiko, Ĉapitro 3. Kembriĝo (Britio) Universitato Premi, 1991. ISBN 0-521-46713-6.
_Strang_ G, Enkonduko al Lineara Algebro, 3-a Redakcio, _Wellesley_-Kembriĝo (Britio) Premi, 1998, (Sekcio 6.7) ISBN 0961408855.

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Singulara_valora_malkompona%C4%B5o_309c.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Lineara algebro | Matrica teorio