Vikipedio:Projekto matematiko/Rimana surfaco

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Rimana surfaco (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, aparte en kompleksa analitiko, Rimana surfaco, nomis post _Bernhard_ Rimano, estas unu-dimensia kompleksa dukto. Rimanaj surfacoj povas esti penso de kiel "misformita (versioj, versias)" de la kompleksa ebeno: loke proksimaj ĉiuj punktaj ili aspekti flikaĵoj de la kompleksa ebeno, sed la malloka topologio povas esti sufiĉe malsama. Ekzemple, ili povas aspekti sfero aŭ toro aŭ (duopo, kupli, paro) de folioj gluis kune.

La ĉefa punkto de Rimanaj surfacoj estas (tiu, ke, kiu) holomorfaj funkcioj (majo, povas) esti difinita inter ilin. Rimanaj surfacoj estas nuntempe (konsiderita, konsideris) la natura opcio por studanta la malloka konduto de ĉi tiuj funkcioj, aparte _multi_-valoraj funkcioj kiel la kvadrata radiko aŭ la logaritmo.

Ĉiu Rimana surfaco estas du-dimensia (reala, reela) analitika dukto (kio estas, surfaco), sed ĝi enhavas pli strukturo (aparte kompleksa strukturo) kiu estas (bezonata, bezonis) por la unusenca difino de holomorfaj funkcioj. Du-dimensia (reala, reela) (dukto (matematiko), dukto) povas esti (turnita, turnis) enen Rimana surfaco (kutime en kelkaj _inequivalent_ (vojoj, vojas)) se kaj nur se ĝi estas orientebla. (Do, Tiel) la sfero kaj toro konsenti komplekso (strukturoj, strukturas), sed la Filmo de Möbius, Botelo de Klein kaj projekcia ebeno ne.

Geometria (faktoj, faktas) pri Rimanaj surfacoj estas kiel "nico" kiel ebla, kaj ili ofte provizi la intuicio kaj motivado por (ĝeneraligoj, ĝeneraligas) al aliaj kurboj, (duktoj, duktas) aŭ (variecoj, diversaĵoj, diversaĵas). La Rimano-Sankta Roĥa teoremo estas prima ekzemplo de ĉi tiu influi.

Enhavo 1 Formala difino 2 (Ekzemploj, Ekzemplas) 3 Propraĵoj kaj plui (difinoj, difinas) 4 Historio 5 En arto kaj literaturo 6 Vidu ankaŭ jenon: 7 Referencoj

[redaktu] Formala difino

Estu X esti (Hausdorff-a spaco, Spaco de Hausdorff). Homeomorfio de (malfermi, malfermita) subaro U⊂X al subaro de C estas (nomita, vokis) abako. Du (abakoj, abakas) f kaj g kies domajnoj sekci estas dirita kongrui se la (mapoj, mapas) f o g⁻¹ kaj g o f ⁻¹ estas holomorfa super iliaj domajnoj. Se A estas kolekto de kongrua (abakoj, abakas) kaj se (ĉiu, iu) x en X estas en la domajno de iu f en A, tiam ni diri (tiu, ke, kiu) A estas (maparo, atlaso, atlanto). Kiam ni doti X kun (maparo, atlaso, atlanto) A, ni diri (tiu, ke, kiu) (X, A) estas Rimana surfaco. Se la (maparo, atlaso, atlanto) estas komprenita, ni simple diri (tiu, ke, kiu) X estas Rimana surfaco.

Malsama (maparoj, atlasoj, atlantoj) povas elkovi esence la sama Rimana surfaca strukturo sur X; al eviti ĉi tiu multvaloreco, unu iam postulas (tiu, ke, kiu) la donita (maparo, atlaso, atlanto) sur X esti maksimuma, en la (senso, senco) (tiu, ke, kiu) ĝi estas ne enhavita en (ĉiu, iu) alia (maparo, atlaso, atlanto). Ĉiu (maparo, atlaso, atlanto) A estas enhavita en unika maksimuma unu per Lemo de Zorn.

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

• La kompleksa ebeno C estas eble la plej bagatela Rimana surfaco. La mapo f(z) = z (la identa surĵeto) difinas abako por C, kaj {f} estas (maparo, atlaso, atlanto) por C. La mapo g(z) = z^* (la konjugita mapo) ankaŭ difinas abako sur C kaj {g} estas (maparo, atlaso, atlanto) por C. La (abakoj, abakas) f kaj g estas ne kongrua, (do, tiel) ĉi tiu dotas C kun du klara Rimana surfaco (strukturoj, strukturas). Fakte, donita Rimana surfaco X kaj ĝia (maparo, atlaso, atlanto) A, la konjugita (maparo, atlaso, atlanto) B = {f^* : f ∈ A} estas neniam kongrua kun A, kaj dotas X kun klara, kongrua Rimana strukturo.

• En analoga (modo, maniero), ĉiu (malfermi, malfermita) subaro de la kompleksa ebeno povas esti vidita kiel Rimana surfaco en natura vojo. Pli ĝenerale, ĉiu (malfermi, malfermita) subaro de Rimana surfaco estas Rimana surfaco.

• Estu S = C ∪ {∞} kaj estu f(z) = z kie z estas en S \ {∞} kaj g(z) = 1 / z kie z estas en S \ {0} kaj 1/∞ estas difinita al esti 0. Tiam f kaj g estas (abakoj, abakas), ili estas kongrua, kaj { f, g } estas (maparo, atlaso, atlanto) por S, farante S enen Rimana surfaco. Ĉi tiu aparta surfaco estas (nomita, vokis) la Rimana sfero ĉar ĝi povas esti interpretita kiel _wrapping_ la kompleksa ebeno ĉirkaŭ la sfero. Malverŝajne la kompleksa ebeno, ĝi estas kompakta.

• La teorio de kompaktaj rimanaj surfacoj povas esti montrita al esti ekvivalento al (tiu, ke, kiu) de algebraj kurboj (tiu, ke, kiu) estas difinita super la kompleksaj nombroj kaj ne-singularo. Grava (ekzemploj, ekzemplas) de ne-kompaktaj rimanaj surfacoj estas provizita per analitika vastigaĵo (vidi pli sube.)

[redaktu] Propraĵoj kaj plui (difinoj, difinas)

Funkcio f : M → N inter du Rimanaj surfacoj M kaj N estas (nomita, vokis) holomorfa se por ĉiu abako g en la (maparo, atlaso, atlanto) de M kaj ĉiu abako h en la (maparo, atlaso, atlanto) de N, la mapo h o f o g^-1 estas holomorfa (kiel funkcio de C al C) kie ajn ĝi estas difinita. La komponaĵo de du holomorfa (mapoj, mapas) estas holomorfa. La du Rimanaj surfacoj M kaj N estas (nomita, vokis) konforme ekvivalento se tie ekzistas (dissurĵeta, bijekcia) holomorfa funkcio de M al N kies inverso estas ankaŭ holomorfa (ĝi (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) ekster (tiu, ke, kiu) la lasta kondiĉo estas aŭtomata kaj povas pro tio esti nefarita). Du konforme ekvivalentaj Rimanaj surfacoj estas por ĉiuj praktika (celoj, celas) identa.

Ĉiu simple koneksa Rimana surfaco estas konforme ekvivalento al C aŭ al la Rimana sfero C ∪ {∞} aŭ al la (malfermi, malfermita) disko {z ∈ C : |z| < 1}. Ĉi tiu (propozicio, frazo, ordono) estas sciata kiel la samformiga teoremo.

Ĉiu koneksa Rimana surfaco povas esti (turnita, turnis) enen plenumi 2-dimensia (reala, reela) Rimana dukto kun konstanta kurbeco -1, 0 aŭ 1. Ĉi tiu Rimana strukturo estas unika supren al _scalings_ de la metriko. La Rimanaj surfacoj kun kurbeco -1 estas (nomita, vokis) hiperbola; la (malfermi, malfermita) disko kun la _Poincaré_-metriko de konstanta kurbeco -1 estas la kanona loka modelo. (Ekzemploj, Ekzemplas) estas ĉiuj (surfacoj, surfacas) kun genro g>1. La Rimanaj surfacoj kun kurbeco 0 estas (nomita, vokis) parabola; C kaj la 2-toro estas tipaj parabolaj Rimanaj surfacoj. Fine, la (surfacoj, surfacas) kun kurbeco +1 estas sciata kiel elipsa; la Rimana sfero C ∪ {∞} estas ekzemplo.

Por ĉiu (fermita, fermis) parabola Rimana surfaco, la fundamenta grupo estas izomorfia al rango 2 krada grupo, kaj tial la surfaco povas esti konstruita kiel C/Γ, kie C estas la kompleksa ebeno kaj Γ estas la krada grupo. La aro de (delegatoj, prezentantoj, prezentantas) de la flankaj klasoj estas (nomita, vokis) fundamentaj domajnoj.

Simile, por ĉiu hiperbola Rimana surfaco, la fundamenta grupo estas izomorfia al _Fuchsian_ grupo, kaj tial la surfaco povas esti modelita per _Fuchsian_ modelo H/Γ kie H estas la supra duonebeno kaj Γ estas la _Fuchsian_ grupo. La aro de (delegatoj, prezentantoj, prezentantas) de la flankaj klasoj de H/Γ estas liberaj regulaj aroj kaj povas esti (modita, manierita) enen metrikaj fundamentaj poligonoj.

Kiam hiperbola surfaco estas kompakta, tiam la tuteca areo de la surfaco estas 4π(g − 1), kie g estas la genro de la surfaco; la areo estas ricevita per aplikanta la Gaŭso-Kufa teoremo al la areo de la fundamenta poligono.

Ni (tononomita, notita) en la _preamble_ (tiu, ke, kiu) ĉiuj Rimanaj surfacoj, ŝati ĉiuj kompleksaj duktoj, estas orientebla kiel (reala, reela) (dukto (matematiko), dukto). La kaŭzo estas (tiu, ke, kiu) por komplekso (abakoj, abakas) f kaj g kun traira funkcio h = f(g^-1(z)) ni povas konsideri h kiel mapo de malfermita aro de R² al R² kies Jakobia determinanto en punkto z estas (justa, ĵus) la (reala, reela) lineara surĵeto donita per multipliko per la kompleksa nombro h'(z). Tamen, la (reala, reela) determinanto de multipliko per kompleksa nombro α egalas |α|^2, (do, tiel) la Jakobia determinanto de h havas pozitiva determinanto. (Sekve, Sinsekve) la komplekso (maparo, atlaso, atlanto) estas orientita (maparo, atlaso, atlanto).

[redaktu] Historio

Rimanaj surfacoj estis unua studis per _Bernhard_ Rimano kaj estis nomita post lin.

[redaktu] En arto kaj literaturo

• Unu de M.C. _Escher_'s (laboroj, laboras), Printi Galerio, estas _laid_ ekster sur cikle kreskanta krado (tiu, ke, kiu) havas estas priskribita kiel Rimana surfaco.
• En Aldous Huxley's romano Kuraĝa Nova Mondo, "Rimana Surfaca Teniso" estas populara ludo.

[redaktu] Vidu ankaŭ jenon:

• Algebra geometrio
• Konforma geometrio
• _Kähler_ (dukto (matematiko), dukto)
• Spaco de Teichmüller
• (Teoremoj, Teoremas) estimantaj Rimanaj surfacoj
  • Rimano-Sankta Roĥa teoremo
  • Formulo de Rimano-Hurwitz
  • Rimana surĵeta teoremo
  • samformiga teoremo
  • Hurwitz-a aŭtomorfia teoremo

[redaktu] Referencoj

• _Hershel_ Sinjoro _Farkas_ kaj _Irwin_ _Kra_, Rimano (Surfacoj, Surfacas) (1980), _Springer_-_Verlag_, (Nov-Jorkio, Novjorko). ISBN 0-387-90465-4
• _Jurgen_ _Jost_, Kompakta Rimano (Surfacoj, Surfacas) (2002), _Springer_-_Verlag_, (Nov-Jorkio, Novjorko). ISBN 3-540-43299-X
• Rimana Surfaco sur Planedo Math