Vikipedio:Projekto matematiko/Reto (matematiko)

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Reto (matematiko) (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

Ĉi tiu artikolo estas pri (retoj, retas) en topologiaj spacoj kaj ne pri ε-(retoj, retas) en metrikaj spacoj

En topologio kaj rilatantaj areoj de matematiko (reto, neta) aŭ _Moore_-Forĝista vico estas ĝeneraligo de vico, intencis al samspecigi la diversaj (komprenaĵoj, nocioj, nocias) de limigo kaj ĝeneraligi ilin al ajnaj topologiaj spacoj. Limigoj de (retoj, retas) atingi por ĉiuj topologiaj spacaj kiaj limigoj de (vicoj, vicas) atingi por unua-numereblaj spacoj kiel metrikaj spacoj.

Vico estas kutime (indeksita, indicita) per la naturaj nombroj kiu estas tutece orda aro. (Retoj, Retas) ĝeneraligi ĉi tiu koncepto per malfortiganta la (ordo-rilato, ordo) sur la indeksa aro al (tiu, ke, kiu) de direktita aro.

(Retoj, Retas) estita unua prezentis per E. H. _Moore_ kaj H. L. Forĝisto en 1922. Ekvivalenta nocio, (nomita, vokis) filtrilo, estis ellaborita en 1937 per _Henri_ _Cartan_.

Enhavo 1 Difino 2 (Ekzemploj, Ekzemplas) 3 Limigoj de (retoj, retas) 4 (Ekzemploj, Ekzemplas) de limigoj de (retoj, retas) 5 Suplementa (difinoj, difinas) 6 Propraĵoj 7 Vidi ankaŭ 8 Referenco

[redaktu] Difino

Se X estas topologia spaco, (reto, neta) en X estas funkcio de iu direktita aro A al X.

Se A estas direktita aro, ni ofte skribi (reto, neta) de A al X en la (formo, formi) (x_α), kiuj ekspresoj la fakto (tiu, ke, kiu) la ero α en A estas mapita al la ero x_α en X. Ni kutime uzi ≥ al signifi la duargumenta rilato donita sur A.

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

Ekde la naturaj nombroj kun la kutima (mendi, ordo) (formo, formi) direktita aro kaj vico estas funkcio sur la naturaj nombroj, ĉiu vico estas (reto, neta).

Alia grava ekzemplo estas kiel sekvas. Donita punkto x en topologia spaco, estu N_x signifi la aro de ĉiuj najbaraĵoj enhavanta x. Tiam N_x estas direktita aro, kie la direkto estas donita per dorsflanka inkluziveco, tiel ke S ≥ T se kaj nur se S estas enhavita en T. Por S en N_x, estu x_S esti punkto en S. Tiam x_S estas (reto, neta). Kiel S (multigas, pligrandiĝoj, pligrandiĝas) kun respekto al ≥, la punktoj x_S en la (reto, neta) estas limigita al (mensogi, kuŝi) en malkreskantaj najbaraĵoj de x, (do, tiel) intuicie parolanta, ni estas gvidita al la ideo (tiu, ke, kiu) x_S devas strebi al x iusence. Ni povas fari ĉi tiu (limigante, limiganta) koncepto preciza.

[redaktu] Limigoj de (retoj, retas)

Se (x_α) estas (reto, neta) de direktita aro A enen X, kaj se Y estas subaro de X, tiam ni diri (tiu, ke, kiu) (x_α) estas eble en Y se tie ekzistas α en A tiel ke por ĉiu β en A kun β ≥ α, la punkto x_β (mensogoj, mensogas, kuŝas) en Y.

Se (x_α) estas (reto, neta) en la topologia spaco X, kaj x estas ero de X, ni diri (tiu, ke, kiu) la (reto, neta) konverĝas al x aŭ havas limigo x kaj skribi

lim x_α = x

se kaj nur se

por ĉiu najbaraĵo U de x, (x_α) estas eble en U.

Intuicie, ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) la (valoroj, valoras) x_α veni kaj resti kiel fermi kiel ni bezono al x por granda sufiĉa α.

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) la ekzemplo (reto, neta) donita pli supre sur la najbareca sistemo de punkto x faras ja konverĝi al x laŭ ĉi tiu difino.

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas) de limigoj de (retoj, retas)

• Limigoj de (vicoj, vicas).

• Limigoj de funkcioj de (reala, reela) (variablo, varianta): lim_{x → c} f(x). Ĉi tie ni direkto la aro R\{c} laŭ distanco de c.

• Limigoj de (retoj, retas) de Rimanaj sumoj, en la difino de la Rimana integralo. En ĉi tiu ekzemplo, la direktita aro estas la aro de (dispartigoj, dispartigas) de la intervalo de integralado, parte (mendita, ordita) per inkluziveco. Simila aĵo estas farita en la difino de la Integralo de Rimano-Stieltjes.

[redaktu] Suplementa (difinoj, difinas)

Se D kaj E estas direktitaj aroj, kaj h estas funkcio de D al E, tiam h estas (nomita, vokis) _cofinal_ se por ĉiu e en E estas d en D tiel ke se q estas en D kaj q ≥ d tiam h(q) ≥ e. En alia (vortoj, vortas), la bildo h(D) estas _cofinal_ en E.

Se D kaj E estas direktitaj aroj, h estas _cofinal_ funkcio de D al E, kaj φ estas (reto, neta) sur aro X bazita sur E, tiam _φo_h estas (nomita, vokis) subreto de φ. Ĉiuj subretoj estas de ĉi tiu (formo, formi), per difino.

Se φ estas (reto, neta) sur X bazita sur direktita aro D kaj A estas subaro de X, tiam φ estas ofte en A se por ĉiu α en D estas β en D, β ≥ α tiel ke φ(β) estas en A.

(Reto, Neta) φ sur aro X estas (nomita, vokis) universala se por ĉiu subaro A de X, ĉu φ estas eble en A aŭ φ estas eble en X-A.

[redaktu] Propraĵoj

Virtuale ĉiuj (konceptoj, konceptas) de topologio povas esti _rephrased_ en la lingvo de (retoj, retas) kaj limigoj. Ĉi tiu (majo, povas) esti utila al gvidi la intuicio ekde la nocio de limigo de (reto, neta) estas tre simila al (tiu, ke, kiu) de [[Limeso|]]limigo de vico, kiu estas larĝe uzita en la teorio de metrikaj spacoj.

Funkcio f : X → Y inter topologiaj spacoj estas kontinua je la punkto x se kaj nur se por ĉiu (reto, neta) (x_α) kun

lim x_α = x

ni havi

lim f(x_α) = f(x).

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) ĉi tiu teoremo estas en ĝenerala ne vera se ni anstataŭigi "(reto, neta)" per "vico". Ni devi enkalkuli pli direktitaj aroj ol (justa, ĵus) la naturaj nombroj se X estas ne unua-numerebla.

En ĝenerala, (reto, neta) en spaco X povas havi pli ol unu limigo, sed se X estas Hausdorff-a spaco, la limigo de (reto, neta), se ĝi ekzistas, estas unika. Male, se X estas ne Hausdorff-a, tiam tie ekzistas (reto, neta) sur X kun du klaraj limigoj. Tial la unikeco de la limigo estas ekvivalento al la Hausdorff-a kondiĉo sur la spaco, kaj ja ĉi tiu (majo, povas) esti prenita kiel la difino. (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) ĉi tiu rezulto dependas sur la _directedness_ kondiĉo; aro (indeksis, indicita) per ĝenerala (antaŭordigo, antaŭordigi) aŭ parta ordo (majo, povas) havi klaraj limigaj punktoj (eĉ, ebena, para) en Hausdorff-a spaco.

Se U estas subaro de X, tiam x estas en la (fermaĵo, adheraĵo) de U se kaj nur se tie ekzistas (reto, neta) (x_α) kun limigo x kaj tia (tiu, ke, kiu) x_α estas en U por ĉiuj α. En aparta, U estas (fermita, fermis) se kaj nur se, ĉiam (x_α) estas (reto, neta) kun eroj en U kaj limigo x, tiam x estas en U.

(Reto, Neta) havas limigo se kaj nur se ĉiuj de ĝiaj subretoj havi limigoj. En (tiu, ke, kiu) (kesto, okazo), ĉiu limigo de la (reto, neta) estas ankaŭ limigo de ĉiu subreto.

Spaco X estas kompakta se kaj nur se ĉiu (reto, neta) (x_α) en X havas subreto kun limigo en X. Ĉi tiu povas vidiĝi kiel ĝeneraligo de la _Bolzano_-Weierstrass-a teoremo kaj _Heine_-Borela teoremo.

En metrika spaco aŭ uniforma spaco, unu povas paroli de Koŝio (retoj, retas) en multa la sama vojo kiel (Koŝiaj vicoj, Koŝi-vicoj). La koncepto (eĉ, ebena, para) ĝeneraligas al Koŝiaj spacoj.

[redaktu] Vidi ankaŭ

La teorio de (filtriloj, filtras) ankaŭ provizas difino de konverĝo en ĝeneralaj topologiaj spacoj.

[redaktu] Referenco

E. H. _Moore_ kaj H. L. Forĝisto (1922). Ĝenerala Teorio de Limigoj. Amerika Ĵurnalo de Matematiko 44 (2), 102–121.