Vikipedio:Projekto matematiko/Perpendikulara grupo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Perpendikulara grupo (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, la perpendikulara grupo de grado n super kampo F (skribita kiel O(n,F)) estas la grupo de n-per-n perpendikularaj matricoj kun elementoj de F, kun la grupa operacio (tiu, ke, kiu) de matrica multipliko. Ĉi tiu estas subgrupo de la ĝenerala lineara grupo Gl(n,F). Pli ĝenerale la perpendikulara grupo de ne-singulara kvadrata formo super F estas la grupo de matricoj konfitanta la (formo, formi). La _Cartan_-_Dieudonné_ teoremo priskribas la strukturo de la perpendikulara grupo.

Ĉiu perpendikulara matrico havas determinanto ĉu 1 aŭ −1. La perpendikulara n-per-n matricoj kun determinanto 1 (formo, formi) normala subgrupo de O(n,F) sciata kiel la speciala perpendikulara grupo So(n,F). Se la karakterizo de F estas 2, tiam 1 = −1, de ĉi tie O(n,F) kaj So(n,F) koincidi; alie la indekso de So(n,F) en O(n,F) estas 2. En karakterizo 2 kaj (ebena, para, eĉ) dimensio, multaj (aŭtoroj, aŭtoras) difini la So(n,F) malsame kiel la kerno de la _Dickson_ invarianto; tiam ĝi kutime havas indekso 2 en O(n,F).

Ambaŭ O(n,F) kaj So(n,F) estas algebraj grupoj, ĉar la kondiĉo (tiu, ke, kiu) matrico esti perpendikulara, kio estas havi ĝia posedi transponi kiel inverso, povas esti esprimita kiel aro de polinomaj ekvacioj en la elementoj de la matrico.

Enhavo 1 Super la reela nombra kampo 1.1 3D (izometrioj, izometrias) kiu lasi la fonto (fiksis, neŝanĝebligita) 2 Super la kompleksa nombra kampo 3 La _Dickson_ invarianto 4 Perpendikularaj grupoj de karakterizo 2 5 La _spinor_ normo 6 Galezo _cohomology_ kaj perpendikularaj grupoj 7 Vidu ankaŭ jenon:

[redaktu] Super la reela nombra kampo

Super la kampo R de reelaj nombroj, la perpendikulara grupa O(n,R) kaj la speciala perpendikulara grupa So(n,R) estas ofte simple signifis per O(n) kaj So(n) se ne konfuzo estas ebla. Ili (formo, formi) (reala, reela) kompakta (Mensogi, Kuŝi) (grupoj, grupas) de dimensio n(n-1)/2. O(n,R) havas du koneksaj komponantoj, kun So(n,R) estante la identa komponanto, kio estas, la koneksa komponanto enhavanta la identa matrico.

La (reala, reela) perpendikulara kaj (reala, reela) specialaj perpendikularaj grupoj havi jeno geometria (interpretadoj, interpretadas)

O(n,R) estas subgrupo de la Eŭklida grupo E(n), la grupo de (izometrioj, izometrias) de Rⁿ; ĝi enhavas tiuj kiu lasi la fonto (fiksis, neŝanĝebligita). Ĝi estas la simetria grupo de la sfero (n = 3) aŭ _hypersphere_ kaj ĉiuj (objektoj, objektas) kun sfera simetrio, se la fonto estas elektita je la centro.

So(n,R) estas subgrupo de E⁺(n), kiu konsistas de direkto (izometrioj, izometrias), kio estas, (izometrioj, izometrias) konfitanta orientiĝo; ĝi enhavas tiuj kiu lasi la fonto (fiksis, neŝanĝebligita). Ĝi estas la rotacia grupo de la sfero kaj ĉiuj (objektoj, objektas) kun sfera simetrio, se la fonto estas elektita je la centro.

{ Mi, −Mi } estas normala subgrupo kaj (ebena, para, eĉ) karakteriza subgrupo de O(n,R), kaj, se n estas (ebena, para, eĉ), ankaŭ de So(n,R). Se n estas nepara, O(n,R) estas la direkto (produkto, produto) de So(n,R) kaj { Mi, −Mi }. La cikla grupo de kOblo (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) C_k estas por ĉiu pozitiva entjero k normala subgrupo de O(2,R) kaj So(2,R).

Relativa al taŭgi perpendikulara (bazas, bazoj), la (izometrioj, izometrias) estas de la (formo, formi):

kie la matricoj R₁,...,R_k estas 2-per-2 turnadaj matricoj.

La simetria grupo de cirklo estas O(2,R), ankaŭ (nomita, vokis) _Dih_(S¹), kie S¹ signifas la multiplika grupo de kompleksaj nombroj de absoluta valoro 1.

So(2,R) estas izomorfia (kiel Grupo de Lie) al la cirklo S¹ (cirkla grupo). Ĉi tiu izomorfio sendas la kompleksa nombro exp(φmi) = cos(φ) + mi (peko, peki)(φ) al la perpendikulara matrico

La grupa So(3,R), komprenita kiel la aro de (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) de 3-dimensia spaco, estas de majora graveco en la (sciencoj, sciencas) kaj inĝenierado. Vidi rotacia grupo kaj la ĝenerala formulo por 3 × 3 rotacia matrico en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la akso kaj la angulo.

En (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de algebra topologio, por n > 2 la fundamenta grupo de So(n,R) estas cikla de (mendi, ordo) 2, kaj la _spinor_ grupa Spino(n) estas ĝia universala kovri. Por n = 2 la fundamenta grupo estas malfinio cikla kaj la universala kovri korespondas al la reala linio.

La (Mensogi, Kuŝi) algebro asociita al la (Mensogi, Kuŝi) (grupoj, grupas) O(n,R) kaj So(n,R) konsistas de la deklivo-simetria (reala, reela) n-per-n matricoj, kun la (Mensogi, Kuŝi) krampo donita per la komutilo. Ĉi tiu (Mensogi, Kuŝi) algebro estas ofte signifita per o(n,R) aŭ per (do, tiel)(n,R).

[redaktu] 3D (izometrioj, izometrias) kiu lasi la fonto (fiksis, neŝanĝebligita)

La (izometrioj, izometrias) de R³ kiu lasi la fonto (fiksis, neŝanĝebligita), (formante, formanta) la grupa O(3,R), povas esti _categorized_ kiel sekvas:

• So(3,R):
  • idento
  • turnado pri akso tra la fonto per angulo ne egala al 180°
  • turnado pri akso tra la fonto per angulo de 180°
• la sama kun inversigo (x estas mapita al −x), kio estas respektive:
  • inversigo
  • turnado pri akso per angulo ne egala al 180°, kombinita kun reflekto en la ebeno tra la fonto kiu estas (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) al la akso
  • reflekto en ebeno tra la fonto

La 4-a kaj 5-a en aparta, kaj en pli larĝa (senso, senco) la _6th_ ankaŭ, estas (nomita, vokis) nepropraj turnadoj.

Vidu ankaŭ jenon: la simila ĝenerala priskribo inkluzivanta (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias).

[redaktu] Super la kompleksa nombra kampo

Super la kampo C de kompleksaj nombroj, O(n,C) kaj So(n,C) estas komplekso (Mensogi, Kuŝi) (grupoj, grupas) de dimensio n(n-1)/2 super C (kiu (meznombroj, meznombras, signifas) la dimensio super R estas dufoje (tiu, ke, kiu)). O(n,C) havas du koneksaj komponantoj, kaj So(n,C) estas la koneksa komponanto enhavanta la identa matrico. Por n ≥ 2 ĉi tiuj (grupoj, grupas) estas _noncompact_.

(Justa, Ĵus) kiel en la (reala, reela) (kesto, okazo) So(n,C) estas ne simple koneksa. Por n > 2 la fundamenta grupo de So(n,C) estas cikla de (mendi, ordo) 2 (dum, ĉar) la fundamenta grupo de So(2,C) estas malfinio cikla.

La komplekso (Mensogi, Kuŝi) algebro asociita al O(n,C) kaj So(n,C) konsistas de la deklivo-simetria komplekso n-per-n matricoj, kun la (Mensogi, Kuŝi) krampo donita per la komutilo.

[redaktu] La _Dickson_ invarianto

Por perpendikularaj grupoj en (ebena, para, eĉ) (dimensioj, dimensias), la _Dickson_ invarianto estas homomorfio de la perpendikulara grupo al Z/2Z, kaj estas 0 aŭ 1 dependanta sur ĉu turnado estas la (produkto, produto) de (ebena, para, eĉ) aŭ nepara nombro de (reflektoj, reflektas). Super kampoj (tiu, ke, kiu) estas ne de karakterizo 2 ĝi estas plimalpli ekvivalento al la determinanto: la determinanto estas −1 al la povo de la _Dickson_ invarianto. Super kampoj de karakterizo 2, la determinanto estas ĉiam 1, (do, tiel) la _Dickson_ invarianto donas superflua informo. En karakterizo 2 multaj (aŭtoroj, aŭtoras) difini la speciala perpendikulara grupo al esti la eroj de _Dickson_ invarianto 0, iom ol la eroj de determinanto 1.

La _Dickson_ invarianto povas ankaŭ esti difinita por _Clifford_ (grupoj, grupas) kaj (Stifto, Kejli, Kejlo) (grupoj, grupas) en simila vojo (totale (dimensioj, dimensias)).

[redaktu] Perpendikularaj grupoj de karakterizo 2

Super kampoj de karakterizo 2 perpendikularaj grupoj ofte konduti malsame. Ĉi tiu sekcio (listoj, listas) iu de la diferencoj.

• (Ĉiu, Iu) perpendikulara grupo super (ĉiu, iu) kampo estas generita per (reflektoj, reflektas), krom unika ekzemplo kie la vektora spaco estas 4 dimensia super la kampo kun 2 eroj.

• La centro de la perpendikulara grupo kutime havas (mendi, ordo) 1 en karakterizo 2, iom ol 2.

• En nepara (dimensioj, dimensias) 2n+1 en karakterizo 2, perpendikularaj grupoj super perfektaj kampoj estas la sama kiel _symplectic_ (grupoj, grupas) en dimensio 2n. Fakte la simetria (formo, formi) estas alterna en karakterizo 2, kaj kiel la dimensio estas nepara ĝi devas havi kerno de dimensio 1, kaj la kvociento per ĉi tiu kerno estas _symplectic_ spaco de dimensio 2n, (agis, operaciita, aktita) sur per la perpendikulara grupo.

• En (ebena, para, eĉ) (dimensioj, dimensias) en karakterizo 2 la perpendikulara grupo estas subgrupo de la _symplectic_ grupo, ĉar la simetria dulineara formo de la kvadrata formo estas ankaŭ alterna (formo, formi).

[redaktu] La _spinor_ normo

La _spinor_ normo estas homomorfio de perpendikulara grupo super kampo F al

F^*/F^*2,

la multiplika grupo de la kampo F supren al kvadrataj eroj, (tiu, ke, kiu) prenas reflekto en vektoro de normo n al la bildo de n en F^*/F^*2.

Por la kutima perpendikulara grupo super la reela nombra ĝi estas bagatela, sed ĝi estas ofte ne-bagatela super aliaj kampoj, aŭ por la perpendikulara grupo de kvadrata formo super la reela nombra tio estas ne pozitiva definitiva.

[redaktu] Galezo _cohomology_ kaj perpendikularaj grupoj

En la teorio de Galezo _cohomology_ de algebraj grupoj, iu plui punktoj de vido estas prezentita. Ili havi _explanatory_ valoro, en aparta en rilato kun la teorio de kvadrataj formoj; sed estis grandparte (afiŝo, posteno) _hoc_, kiel malproksime kiel la malkovro de la fenomenoj estas koncernita. La unua punkto estas (tiu, ke, kiu) kvadrataj formoj super kampo povas esti (identigita, identigita) kiel Galezo H¹, aŭ tordis (formoj, formas) (_torsors_) de perpendikulara grupo. Kiel algebra grupo, perpendikulara grupo estas en ĝenerala neniu koneksa nek simple-koneksa; la lasta punkto kondukas en la spinaj fenomenoj, dum la antaŭa estas rilatanta al la diskriminanto.

La 'spino' nomo de la _spinor_ normo povas esti eksplikita per ligo al la spina grupo (pli precize (stifto, kejli, kejlo) grupo). Ĉi tiu (majo, povas) nun esti eksplikita rapide per Galezo _cohomology_ (kiu tamen _postdates_ la enkonduko de la (termo, membro, flanko, termino) per pli direkto uzi de _Clifford_ (algebroj, algebras)). La spino (kovranta, kovro) de la perpendikulara grupo provizas mallonga akurata vico de algebraj grupoj.

Ĉi tie μ₂ estas la algebra grupo de kvadrataj radikoj de 1; super kampo de karakterizo ne 2 ĝi estas malglate la sama kiel du-era grupo kun bagatela Galeza ago. La trakonektanta homomorfio de H⁰(O_V) kiu estas simple la grupo O_V(F) de F-valoraj punktoj, al H¹(μ₂) estas esence la _spinor_ normo, ĉar H¹(μ₂) estas izomorfia al la multiplika grupo de la kampo module (kvadratoj, placoj, kvadratigas).

Estas ankaŭ la trakonektanta homomorfio de H¹ de la perpendikulara grupo, al la H² de la kerno de la spino (kovranta, kovro). La _cohomology_ estas ne-abela, tiel ke ĉi tiu estas kiel malproksime kiel ni povas iri, almenaŭ kun la kutima (difinoj, difinas).

[redaktu] Vidu ankaŭ jenon:

• rotacia grupo, So(3,R)
• ĝeneraligita perpendikulara grupo
• unuargumenta grupo