Vikipedio:Projekto matematiko/Nombro de Stirling

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Nombro de Stirling
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, _Stirling_ nombroj ekesti en (diversaj, diversaĵo) de kombinatoriko (problemoj, problemas). Ili estas nomita post Marmeladoj _Stirling_, kiu prezentis ilin en la 18-a jarcento. Du malsamaj aroj de nombra urso ĉi tiu nomo: la _Stirling_ nombroj de la unua speco kaj la _Stirling_ nombroj de la (sekundo, dua) speco.

[redaktu] (Notacio, Skribmaniero)

Kelkaj malsama (notacioj, skribmanieroj, skribmanieras) por la _Stirling_ nombroj estas en uzi. _Stirling_ nombroj de la unua speco estas skribita kun malgranda s, kaj tiuj de la (sekundo, dua) speco kun granda S:

$s(n,k)=\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right].$

$S(n,k)= S_n^{(k)} = \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}.$

La (notacio, skribmaniero) de uzanta (krampoj, krampas) kaj kunigaj krampoj, en analogio al la dutermaj koeficientoj, estis prezentita en 1935 per _Jovan_ _Karamata_ kaj (akcelis, helpita) poste per Donald Knuth; ĝi estas referita al kiel _Karamata_ (notacio, skribmaniero).

[redaktu] _Stirling_ nombroj de la unua speco

En kombina matematiko, sensigna _Stirling_ nombroj de la unua speco

$s(n,k)\,$

(kun suba-(kesto, okazo) "s") grafo la nombro de (permutoj, permutas) de n eroj kun k disa (cikloj, ciklas).

_Stirling_ nombroj de la unua speco (sen la kvalif(ik)anta adjektivo sensigna) estas la koeficientoj en la elvolvaĵo

$x^n=\sum_{k=1}^n s(n,k)(x)^k$

kie (x)ⁿ estas la (pligrandiĝante, pligrandiĝanta) faktorialo

$(x)^n=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1).$

_Stirling_ nombroj de la unua speco estas iam skribita kun la (alterna, alterni) (notacio, skribmaniero)

$s(n,k)=\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right].$

La difino povas esti inversigita al (ekspreso, esprimi) la falanta faktorialo kiel potencoserio:

$(x)_n = \sum_{k=0}^n s(n,k) x^k.$

Similaj interrilatoj engaĝante la _Stirling_ nombroj teni por la Polinomoj de Bernoulli. Multaj rilatoj por la _Stirling_ nombroj (ŝirmi, ombro) similaj rilatoj sur la dutermaj koeficientoj. La studi de ĉi tiuj '(ŝirmi, ombro) interrilatoj' estas (termita, membrita, flankita, terminita) _umbral_ kalkulo kaj _culminates_ en la teorio de _Sheffer_ (vicoj, vicas).

[redaktu] (Baremo, Tabelo, Tablo) de (valoroj, valoras)

Pli sube estas (baremo, tabelo, tablo) de (valoroj, valoras) por la _Stirling_ nombroj de la unua speco, simila en (formo, formi) al Paskala triangulo:

n \ k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	1
1	0	1
2	0	−1	1
3	0	2	−3	1
4	0	-6	11	-6	1
5	0	24	−50	35	−10	1
6	0	−120	274	−225	85	−15	1
7	0	720	−1764	1624	−735	175	−21	1
8	0	−5040	13068	−13132	6769	−1960	322	−28	1
9	0	40320	−109584	118124	−67284	22449	−4536	546	−36	1

[redaktu] Rekursieca rilato

La _Stirling_ nombroj de la unua speco obei la rekursieca rilato

$\left[\begin{matrix} n+1 \\ k \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} n \\ k-1 \end{matrix}\right] -n \left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]$

por $1\leq k \leq n-1$ , kun la komencaj kondiĉoj

$\left[\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}\right]=0 \quad \mbox { and } \quad \left[\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}\right] = 1.$

La pli supre sekvas de la rekursieca rilato sur la falantaj faktorialoj:

(x) n + 1 = x (x) n - n (x) n .

[redaktu] Simplaj identoj

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu)

$\left[\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}\right] = (-1)^{n-1} (n-1)!$

kaj

$\left[\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}\right] = 1$

kaj

$\left[\begin{matrix} n \\ n-1 \end{matrix}\right] = (-1)^n {n \choose 2}.$

Aliaj rilatoj inkluzivi

$\left[\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}\right] = (-1)^n (n-1)!\; H_{n-1},$

kie $H n$ estas harmona nombro, kaj

$\left[\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}\right] = \frac {1}{2} (-1)^{n-1} (n-1)! \left[ (H_{n-1})^2 - H_{n-1}^{(2)} \right]$

kie $H_n^{(m)}$ estas ĝeneraligita harmona nombro. Ĝeneraligo de ĉi tiu rilato al harmonaj nombroj estas donita en poste sekcio.

[redaktu] Generanta funkcio

(Diversaj, Diversaĵo) de identoj (majo, povas) esti derivita per manipulanta la generanta funkcio

$(1+t)^x = \sum_{n=0}^\infty {x \choose n} t^n = \sum_{n=0}^\infty \frac {t^n}{n!} \sum_{k=0}^n \left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right] x^k = \sum_{k=0}^\infty x^k \sum_{n=k}^\infty \frac {t^n}{n!} \left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right] = e^{x\ln(1+t)}.$

En aparta, la (mendi, ordo) de sumado (majo, povas) esti interŝanĝita, kaj derivaĵoj prenita, kaj tiam t aŭ x (majo, povas) esti (fiksita, neŝanĝebligita).

[redaktu] Finia (sumoj, sumas)

Simpla (sumo, sumi) estas

$\sum_{k=0}^n (-1)^k \left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right] = (-1)^n n!.$

[redaktu] Malfinio (sumoj, sumas)

Iu malfinio (sumoj, sumas) inkluzivi

$\sum_{n=m}^\infty \left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right] \frac{x^n}{n!} = \frac {\left(\ln (1+x)\right)^m}{k!}$

kiu tenas por $x < 1$ .

[redaktu] Rilato al harmonaj nombroj

_Stirling_ nombroj de la unua speco povas esti esprimita en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la harmonaj nombroj kiel sekvas:

$s(n,k)=(-1)^{k-n} \frac{\Gamma(n)}{\Gamma(k)}w(n,k-1)$

kie $w (n,0) = 1$ kaj

$w(n,k)=\sum_{m=0}^{k-1}\frac{\Gamma(1-k+m)}{\Gamma(1-k)}H_{n-1}^{(m+1)} w(n,k-1-m).$

En la pli supre, $Γ(x)$ estas la Γ funkcio kaj $H^{(m)}_n$ estas la harmona nombro.

[redaktu] _Enumerative_ interpretado

La absoluta valoro de la Nombro de Stirling de la unua speco, $s (n, k)$ , (grafoj, grafas) la nombro de (permutoj, permutas) de $n$ (objektoj, objektas) kun akurate $k$ (orbitoj, orbitas) (ekvivalente, kun akurate $k$ (cikloj, ciklas)). Ekzemple, $s (4,2) = 11$ , korespondas al la fakto (tiu, ke, kiu) la simetria grupo sur 4 (objektoj, objektas) havas $3$ (permutoj, permutas) de la (formo, formi)

$(\bullet\bullet)(\bullet\bullet)$ — 2 (orbitoj, orbitas) de amplekso 2 ĉiu

kaj $8$ (permutoj, permutas) de la (formo, formi)

$(\bullet\bullet\bullet)$ — 1 orbito de amplekso 3, kaj 1 orbito de amplekso 1

(vidi la (termo, koeficiento, elemento) sur cikla skribmaniero por la signifo de la pli supre esprimoj.)

Estu ni pruvi ĉi tiu. Unua, ni povas mallaŭdo (tiu, ke, kiu) la sensigna _Stirling_ nombroj de la unua estas karakterizita per jena rekursieca rilato:

$| s(n+1,k)| = | s(n,k-1)| + n| s(n,k)|,\qquad 1\leq k < n.$

Al vidi kial la pli supre rekursieca rilato (alumetoj, maĉoj, konkursoj) la grafo de (permutoj, permutas) kun $k$ (cikloj, ciklas), konsideri (formante, formanta) permuto de $n + 1$ (objektoj, objektas) de permuto de $n$ (objektoj, objektas) per adicianta (distingis, invarianta, memkonjugita, normala, diferencigis) objekto. Estas akurate du (vojoj, vojas) en kiu ĉi tiu povas esti atingita. Ni povita fari ĉi tiu per (formante, formanta) _singleton_ ciklo, kio estas lasanta la superflua objekto sola. Ĉi tiu (kontoj, kalkuloj, kontas, kalkulas) por la $s (n, k - 1)$ (termo, membro, flanko, termino) en la rekursieca formulo. Ni povita ankaŭ enigi la nova objekto enen unu de la ekzistanta (cikloj, ciklas). Konsideri ajna permuto de $n$ objekto kun $k$ (cikloj, ciklas), kaj marko la (objektoj, objektas) $a_1,\ldots,a_n$ , tiel ke la permuto estas (prezentita, prezentis) per

$\underbrace{(a_1 \ldots a_{j_1})(a_{j_1+1} \ldots a_{j_2})\ldots(a_{j_{k-1}+1} \ldots a_n)}_{ k \mbox{ cycles}}.$

Al (formo, formi) nova permuto de $n + 1$ (objektoj, objektas) kaj $k$ (cikloj, ciklas) unu devas enigi la nova objekto enen ĉi tiu tabelo. Estas, evidente $n$ (vojoj, vojas) al (aperi, plenumi) ĉi tiu _insertion_. Ĉi tiu eksplikas la $n\,s(n,k)$ (termo, membro, flanko, termino) de la rekursieca rilato. Kio estis pruvota

[redaktu] _Stirling_ nombroj de la (sekundo, dua) speco

_Stirling_ nombroj de la (sekundo, dua) speco S(n,k) (kun (ĉefurbo, majuskla, kapitelo) "S") grafo la nombro de (ekvivalentrilatoj, ekvivalento-rilatoj, rilatoj de ekvivalento) havanta k (ekvivalento-klasoj, ekvivalentklasoj) difinis sur aro kun n eroj. La (sumo, sumi)

$B_n=\sum_{k=1}^n S(n,k)$

estas la n(th, -a) Sonorila nombro. Se ni estu

$(x)_n=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)$

(en aparta, (x)₀ = 1 ĉar ĝi estas malplena (produkto, produto)) esti la falanta faktorialo, ni povas karakterizi la _Stirling_ nombroj de la (sekundo, dua) speco per

$\sum_{k=0}^n S(n,k)(x)_k=x^n.$

(Implikante, la (notacio, skribmaniero) (tiu, ke, kiu) _combinatorialists_ uzi por falanta (faktorialoj, faktorialas) koincidas kun la (notacio, skribmaniero) uzita en specialaj funkcioj por (pligrandiĝante, pligrandiĝanta) (faktorialoj, faktorialas); vidi _Pochhammer_ simbolo.)

[redaktu] (Baremo, Tabelo, Tablo) de (valoroj, valoras)

Pli sube estas (baremo, tabelo, tablo) de (valoroj, valoras) por la _Stirling_ nombroj de la (sekundo, dua) speco:

n \ k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	1
1	0	1
2	0	1	1
3	0	1	3	1
4	0	1	7	6	1
5	0	1	15	25	10	1
6	0	1	31	90	65	15	1
7	0	1	63	301	350	140	21	1
8	0	1	127	966	1701	1050	266	28	1
9	0	1	255	3025	7770	6951	2646	462	36	1

[redaktu] Rekursieca rilato

_Stirling_ nombroj de la (sekundo, dua) speco obei la rekursieca rilato

$\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\} = \left\{\begin{matrix} n-1 \\ k-1 \end{matrix}\right\} +k \left\{\begin{matrix} n-1 \\ k \end{matrix}\right\}$

kun

$\left\{\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}\right\}=1 \quad \mbox { and } \quad \left\{\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}\right\} = 1.$

[redaktu] Simplaj identoj

Iuj simplaj identoj inkluzivi

$\left\{\begin{matrix} n \\ n-1 \end{matrix}\right\} = {n \choose 2}.$

Ĉi tiu estas ĉar dividanta n eroj enen n − 1 aroj (meznombroj, meznombras, signifas) ĉiu aro _wouldn_'t esti pli granda ol 2 (alie, tie estos esti nur n − 3 eroj ni devi meti enen almenaŭ n − 2 aroj, ĉiu aro enhavas almenaŭ unu ero) reale pro al la sama logiko tie povas esti akurate unu aro kies amplekso estas 2. Pro tio ni reale devi (preno, preni) la unika du eroj kiu devus furori ĉi tiu aro. Tial la pli supre formulo;

kaj

$\left\{\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}\right\} = 2^{n-1}-1.$

Ĉi tiu estas ekde dividanta n eroj enen du aroj A kaj B, permesanta unu aro al esti malplena estas 2ⁿ (ĉiu ero havas 2 _possiblities_ al (apartigi, elekti) aro al furori). Nun ni (bezoni, bezono, necesa) al forpreni du _unallowed_ ŝtatoj unu kie A estas malplena kaj la alia kie B estas malplena. Escepti ekde ni grafita ĉiu divido de ŝtatoj kie iuj eroj estas en A ĉiu aliaj en B kaj la (kesto, okazo) kie ĉiu aliaj estis en A kaj tiuj kiu estis en A estas en B ankaŭ ili estas _interepreted_ kiel sola (kesto, okazo) en nia ara divido, ni devas dividi 2ⁿ− 2 per 2, kaj tial ni preni la formulo pli supre.

[redaktu] Eksplicita formulo

La _Stirling_ nombroj de la (sekundo, dua) speco estas donita per la eksplicita formulo

$\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\} =\frac{1}{k!}\sum_{j=1}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j} j^n.$

Ĉi tiu formulo estas speciala okazo de la k '(th, -a) antaŭen diferenco de la unutermo $x n$ (komputita, pritaksita) je x=0:

$\Delta^k x^n = \sum_{j=1}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j} (x+j)^n.$

Ĉar la Polinomoj de Bernoulli (majo, povas) esti skribita en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de ĉi tiuj antaŭen diferencoj, unu (tuj, senpere) ricevas rilato en la Nombro de Bernoullas:

$B_m(0)=\sum_{k=0}^m \frac {(-1)^k k!}{k+1} \left\{\begin{matrix} m \\ k \end{matrix}\right\}.$

[redaktu] (Momentoj, Momentas, Momantoj, Momantas) de la _Poisson_ distribuo

Se X estas hazarda variablo kun _Poisson_ distribuo kun atendata valoro λ, tiam ĝia n(th, -a) (momanto, momento) estas

$E(X^n)=\sum_{k=1}^n S(n,k)\lambda^k.$

En aparta, la n(th, -a) (momanto, momento) de la _Poisson_ distribuo kun atendata valoro 1 estas precize la nombro de (dispartigoj, dispartigas) de aro de amplekso n, kio estas, ĝi estas la n(th, -a) Sonorila nombro (ĉi tiu fakto estas "_Dobinski_'s formulo").

[redaktu] (Momentoj, Momentas, Momantoj, Momantas) de fiksaj punktoj de hazardaj permutoj

Estu la hazarda variablo X esti la nombro de fiksaj punktoj de unuforme distribuis hazarda permuto de finia aro de amplekso m. Tiam la n(th, -a) (momanto, momento) de X estas

$E(X^n) = \sum_{k=1}^m S(n,k).$

(Tononomo, Noto, Noti): La supera baro de sumado estas m, ne n.

En alia (vortoj, vortas), la n(th, -a) (momanto, momento) de ĉi tiu probablodistribuo estas la nombro de (dispartigoj, dispartigas) de aro de amplekso n enen apenaŭ m (partoj, partas).

[redaktu] Inversigaj interrilatoj

La _Stirling_ nombroj de la unua kaj (sekundo, dua) speco povas esti konsiderata al esti (inversoj, inversas) de unu-alia:

$\sum_{n=0}^{\max\{j,k\}} \left[\begin{matrix} n \\ j \end{matrix}\right] \left\{\begin{matrix} k \\ n \end{matrix}\right\} = \delta_{jk}$

kaj

$\sum_{n=0}^{\max\{j,k\}} \left\{\begin{matrix} n \\ j \end{matrix}\right\} \left[\begin{matrix} k \\ n \end{matrix}\right] = \delta_{jk}$

kie $δ j k$ estas la Delto de Kronecker.

[redaktu] Vidi ankaŭ

Sonorilaj polinomoj
Cikloj kaj fiksaj punktoj
_Lah_ nombro
_Pochhammer_ simbolo
Polinoma vico
Konverto de Stirling
_Touchard_ (polinomoj, polinomas)

[redaktu] Referencoj

D.E. Knuth-a, Du (tononomoj, notoj, notas) sur (notacio, skribmaniero) (TeX fonto).
Ludoviko _Comtet_ Plibonigita Kombinatoriko: La Arto de Finia kaj Malfinio (Elvolvaĵoj, Elvolvaĵas), _Reidel_ Publikiganta Kompanio, Dordrecht-(Holando, Nederlando)/_Boston_-U.S.A., 1974.
Venkinto _Adamchik_, "Sur _Stirling_ Nombroj kaj Eŭlero (Sumoj, Sumas)", Ĵurnalo de Komputa kaj Aplikis Matematiko 79 (1997) _pp_. 119-130.
_Arthur_ T. Benjamen, _Gregory_ O. _Preston_, _Jennifer_ J. _Quinn_, A _Stirling_ Renkonti kun Harmonaj Nombroj, (2002) Matematika Revuo, 75 (2) _pp_ 95-103.
J. Sinjoro _Sixdeniers_, K. A. _Penson_, A. Mi. _Solomon_, Etendis Sonorilo kaj _Stirling_ Nombroj De Supergeometria Potencigo (2001), Ĵurnalo de Entjero (Vicoj, Vicas), 4, Artikolo 01.1.4.
_Hsien_-_Kuei_ _Hwang_, Asimptota (Elvolvaĵoj, Elvolvaĵas) por la _Stirling_ Nombroj de la Unua Speco (1994).

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Nombro_de_Stirling_ac51.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Permutoj | Q-analogoj | Faktorialo kaj dutermaj temoj | Entjeraj vicoj

Vikipedio:Projekto matematiko/Nombro de Stirling

El Vikipedio

Enhavo

[redaktu] (Notacio, Skribmaniero)

[redaktu] _Stirling_ nombroj de la unua speco

[redaktu] (Baremo, Tabelo, Tablo) de (valoroj, valoras)

[redaktu] Rekursieca rilato

[redaktu] Simplaj identoj

[redaktu] Generanta funkcio

[redaktu] Finia (sumoj, sumas)

[redaktu] Malfinio (sumoj, sumas)

[redaktu] Rilato al harmonaj nombroj

[redaktu] _Enumerative_ interpretado

[redaktu] _Stirling_ nombroj de la (sekundo, dua) speco

[redaktu] (Baremo, Tabelo, Tablo) de (valoroj, valoras)

[redaktu] Rekursieca rilato

[redaktu] Simplaj identoj

[redaktu] Eksplicita formulo

[redaktu] (Momentoj, Momentas, Momantoj, Momantas) de la _Poisson_ distribuo

[redaktu] (Momentoj, Momentas, Momantoj, Momantas) de fiksaj punktoj de hazardaj permutoj

[redaktu] Inversigaj interrilatoj

[redaktu] Vidi ankaŭ

[redaktu] Referencoj

Views

Navigado

Serĉu

Aliaj lingvoj