Vikipedio:Projekto matematiko/Minoro (lineara algebro)

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Minoro (lineara algebro)
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

Ĉi tiu artikolo estas pri koncepto en lineara algebro. Por la nerilata koncepto de "minoro" en grafeteorio, vidi minoro (grafeteorio).

En lineara algebro, minoro de matrico estas la determinanto de certa (pli minuskla, pli malgranda) matrico. Supozi A estas m × n matrico kaj k estas pozitiva entjero ne pli granda ol m kaj n. k × k minoro de A estas la determinanto de k × k matrico ricevis de A per (forviŝanta, foriganta) m - k (linioj, vicoj, linias, vicas) kaj n - k kolumnoj.

Ekde estas C(m, k) elektoj de k (linioj, vicoj, linias, vicas) el m, kaj estas C(n, k) elektoj de k kolumnoj el n, estas tuteca de C(m, k)C(n, k) (minoroj, minoras) de amplekso k × k.

Aparte grava estas la (n - 1) × (n - 1) (minoroj, minoras) de n × n kvadrata matrico - ĉi tiuj estas ofte signifita M_{_ij_}, kaj estas derivita per forprenanta la mi(th, -a) (linio, vico) kaj la j(th, -a) kolumno.

La (kofaktoroj, kofaktoras) de kvadrata matrico A estas proksime rilatanta al la (minoroj, minoras) de A: la kofaktoro C_{_ij_} de A estas difinita kiel (−1)^{mi + j} (tempoj, tempas) la determinanto de la minoro M_{_ij_} de A.

Ekzemple, donita la matrico

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 3 & 0 & 5 \\ -1 & 9 & 11 \\ \end{pmatrix}$

supozi ni deziri al trovi la kofaktoro C₂₃. La minoro M₂₃ estas la determinanto de la pli supre matrico kun (linio, vico) 2 kaj kolumno 3 forprenis (jeno estas ne normo (notacio, skribmaniero)):

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & \Box \\ \Box & \Box & \Box \\ -1 & 9 & \Box \\ \end{vmatrix}$ rendimento $\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 9 \\ \end{vmatrix} = (9-(-4)) = 13.$

Tial C₂₃ estas $(-1)^{2+3} \!\$ M₂₃ $= -13 \!\$

La (kofaktoroj, kofaktoras) esprimilo elstare en Laplaca formulo por la elvolvaĵo de (determinantoj, determinantas). Se ĉiu (kofaktoroj, kofaktoras) de kvadrata matrico A estas kolektita al (formo, formi) nova matrico de la sama amplekso, unu ricevas la _adjugate_ de A, kiu estas utila en kalkulanta la inverso de malgrandaj matricoj.

Donita m×n matrico kun (reala, reela) elementoj (aŭ elementoj de (ĉiu, iu) alia kampo) kaj rango r, tiam tie ekzistas almenaŭ unu ne-nulo r×r minoro, dum ĉiuj pli granda (minoroj, minoras) estas nulo.

Ni estos uzi jeno (notacio, skribmaniero) por (minoroj, minoras): se A estas m×n matrico, Mi estas subaro de {1,...,m} kun k eroj kaj J estas subaro de {1,...,n} kun k eroj, tiam ni skribi [A]_Mi,J por la k×k minoro de A (tiu, ke, kiu) korespondas al la (linioj, vicoj, linias, vicas) kun indekso en Mi kaj la kolumnoj kun indekso en J.

Ambaŭ la formulo por ordinara matrica multipliko kaj la Formulo de Koŝio-Binet por la determinanto de la (produkto, produto) de du matricoj estas specialaj okazoj de jeno ĝenerala (propozicio, frazo, ordono) pri la (minoroj, minoras) de (produkto, produto) de du matricoj. Supozi (tiu, ke, kiu) A estas m×n matrico, B estas n×p matrico, Mi estas subaro de {1,...,m} kun k eroj kaj J estas subaro de {1,...,p} kun k eroj. Tiam

$[AB]_{I,J} = \sum_{K} [A]_{I,K} [B]_{K,J}\,$

kie la (sumo, sumi) etendas super ĉiuj (subaroj, subaras) K de {1,...,n} kun k eroj. Ĉi tiu formulo estas simpla korolario de la Formulo de Koŝio-Binet.

Pli sistema, algebra kuracado de la minora koncepto estas donita en plurlineara algebro, uzanta la kojno (produkto, produto). Se la kolumnoj de matrico estas kojnita kune k je tempo, la k×k (minoroj, minoras) aperi kiel la (komponantoj, komponantas) de la rezultanta k-(vektoroj, vektoras). Ekzemple, la 2×2 (minoroj, minoras) de la matrico

$\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & -1 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix}$

estas −13 (de la unua du (linioj, vicoj, linias, vicas)), −7 (de la unua kaj lasta (linio, vico)), kaj 5 (de la lasta du (linioj, vicoj, linias, vicas)). Nun konsideri la kojno (produkto, produto)

$(\mathbf{e}_1 + 3\mathbf{e}_2 +2\mathbf{e}_3)\wedge(4\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_3)$

kie la du esprimoj esti konforma laŭ la du kolumnoj de nia matrico. Uzanta la propraĵoj de la kojno (produkto, produto), nome (tiu, ke, kiu) ĝi estas dulineara kaj

$\mathbf{e}_i\wedge \mathbf{e}_i = 0$