Vikipedio:Projekto matematiko/Mezuro de Haar

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Mezuro de Haar
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En analitiko, la Mezuro de Haar estas vojo al asigni "invarianta volumeno" al (subaroj, subaras) de loke kompaktaj topologiaj grupoj kaj sinsekve difini integralo por funkcioj sur tiuj (grupoj, grupas).

Ĉi tiu mezuri estita prezentita per _Alfréd_ _Haar_, Hungara matematikisto, pri 1932. _Haar_ (mezuras, kriterioj, kriterias, mezuroj) estas uzitaj en multaj (partoj, partas) de analitiko kaj nombroteorio.

Enhavo

1 _Preliminaries_
2 Ekzisto de la (maldekstre, restis) Mezuro de Haar
3 La (ĝusta, dekstra, rajto) Mezuro de Haar
4 La Integralo de Haar
5 Uzas
6 (Ekzemploj, Ekzemplas)
7 La modula funkcio
8 Referencoj
9 Vidi ankaŭ

[redaktu] _Preliminaries_

Estu G esti loke kompakta topologia grupo. En ĉi tiu artikolo, la σ-algebro generita per ĉiuj kompakta (subaroj, subaras) de G estas (nomita, vokis) la Borela algebro. Ero de la Borela algebro estas (nomita, vokis) Borela aro. Se a estas ero de G kaj S estas subaro de G, tiam ni difini la (maldekstre, restis) kaj (ĝusta, dekstra, rajto) (tradukas, translingvigas) de S kiel sekvas:

(Maldekstre, Restita) traduki:

$a S = \{a \cdot s: s \in S\}.$

(Ĝusta, Dekstra, Rajto) traduki:

$S a = \{s \cdot a: s \in S\}.$

(Maldekstre, Restita) kaj (ĝusta, dekstra, rajto) (tradukas, translingvigas) mapaj Borelaj aroj enen Borelaj aroj.

Mezuri μ sur la Borelo (subaroj, subaras) de G estas (nomita, vokis) (maldekstre, restita)-traduko-invarianto se kaj nur se por ĉiu Borelo (subaroj, subaras) S de G kaj ĉiuj a en G unu havas

$\mu(a S) = \mu(S). \quad$

Simila difino estas farita por (ĝusta, dekstra, rajto) traduka invarianto.

[redaktu] Ekzisto de la (maldekstre, restis) Mezuro de Haar

Ĝi (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) ekster (tiu, ke, kiu) estas, supren al pozitiva multiplika konstanto, nur unu (maldekstre, restita)-traduko-invarianto kalkuleble alsuma regula mezuri μ sur la Borelo (subaroj, subaras) de G tia (tiu, ke, kiu) μ(U) > 0 por (ĉiu, iu) (malfermi, malfermita) ne-malplena Borela aro U. Ĉi tie, sekva _Halmos_, Sekcio 52, ni diri μ estas regula se kaj nur se:

μ(K) estas finia por ĉiu kompakta aro K.

Ĉiu Borela aro E estas ekstera regula:

$\mu(E) = \inf \{\mu(U): E \subseteq U, U \mbox{ open and Borel}\}.$

Se E estas Borelo, tiam E estas ena regula:

$\mu(E) = \sup \{\mu(K): K \subseteq E, K \mbox{ compact }\}.$

Mallaŭdo. En iu malnormala (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas), aro povas esti (malfermi, malfermita) sen estante Borelo. Por ĉi tiu kaŭzo, en la propraĵo de ekstera reguleco, la limigo de la (preciza malsupra rando, preciza suba rando) estas aparte komencita al esti super aroj kiu estas (malfermi, malfermita) kaj Borelo. Ĉi tiuj (patologioj, patologias) neniam okazi se G estas loke kompakta grupo kies suba topologio estas apartigebla metriko; en ĉi tiu (kesto, okazo) la Borela strukturo estas (tiu, ke, kiu) generita per ĉiuj malfermitaj aroj.

[redaktu] La (ĝusta, dekstra, rajto) Mezuro de Haar

Ĝi povas ankaŭ esti (pruvita, pruvis) (tiu, ke, kiu) tie ekzistas unika (supren al multipliko per pozitiva konstanto) (ĝusta, dekstra, rajto)-traduko-invarianta Borela mezuro ν, sed ĝi (bezoni, bezono, necesa) ne koincidi kun la (maldekstre, restis)-traduko-invarianto mezuri μ. Ĉi tiuj (mezuras, kriterioj, kriterias, mezuroj) estas la sama nur por (do, tiel)-(nomita, vokis) _unimodular_ (grupoj, grupas) (vidi pli sube). Ĝi estas sufiĉe simpla kvankam al trovi interrilato inter μ kaj ν.

Ja, por Borela aro S, estu ni signifi per $S - 1$ la aro de (inversoj, inversas) de eroj de S. Se ni difini

$\mu_{-1}(S) = \mu(S^{-1}) \quad$

tiam ĉi tiu estas (ĝusta, dekstra, rajto) Mezuro de Haar. Al montri (ĝusta, dekstra, rajto) invarianto, apliki la difino:

$\mu_{-1}(S a) = \mu((S a)^{-1}) = \mu(a^{-1} S^{-1}) = \mu(S^{-1}) = \mu_{-1}(S). \quad$

Ĉar la (ĝusta, dekstra, rajto) mezuri estas unika, ĝi sekvas (tiu, ke, kiu) μ_-1 estas multaj de ν kaj (do, tiel)

$\mu(S^{-1})=k\nu(S)\,$

por ĉiuj Borelaj aroj S, kie k estas iu pozitiva konstanto.

[redaktu] La Integralo de Haar

Uzanta la ĝenerala teorio de Lebega integralado, unu povas tiam difini integralo por ĉiuj Borelaj mezureblaj funkcioj f sur G. Ĉi tiu integralo estas (nomita, vokis) la Integralo de Haar. Se μ estas (maldekstre, restita) Mezuro de Haar, tiam

$\int_G f(s x) \ d\mu(x) = \int_G f(x) \ d\mu(x)$

por (ĉiu, iu) integralebla funkcio f. Ĉi tiu estas senpera por ŝtuparaj funkcioj, estante esence la difino de (maldekstre, restis) invarianto.

[redaktu] Uzas

La _Haar_ (mezuras, kriterioj, kriterias, mezuroj) estas uzitaj en fourier-a analizo sur ajna loke kompaktaj grupoj, vidi _Pontryagin_ duvarianteco. Ofte uzita tekniko por pruvanta la ekzisto de Mezuro de Haar sur loke kompakta grupo G estas montranta la ekzisto de (maldekstre, restis) invarianta Radona mezuro sur G.

Se ne G estas diskreta grupo, ĝi estas neebla al difini kalkuleble-alsuma (ĝusta, dekstra, rajto) invarianto mezuri sur ĉiuj (subaroj, subaras) de G, alprenanta la aksiomo de elekto. Vidi ne-mezureblaj aroj.

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

La Mezuro de Haar sur la topologia grupo (R, +) kiu prenas la valoro 1 sur la intervalo [0,1] estas egala al la limigo de Lebega mezuro al la Borelo (subaroj, subaras) de R. Ĉi tiu povas esti ĝeneraligita por (Rⁿ, +).

Se G estas la grupo de pozitivaj reelaj nombroj kun multipliko kiel operacio, tiam la Mezuro de Haar μ(S) estas donita per

$\mu(S) = \int_S \frac{1}{t} \, dt$

por (ĉiu, iu) Borela subaro S de la pozitivaj reelaj nombroj.

Ĉi tiu ĝeneraligas al la sekva:

Por G = Gl(n,R), (maldekstre, restis) kaj (ĝusta, dekstra, rajto) _Haar_ (mezuras, kriterioj, kriterias, mezuroj) estas proporcia kaj

$\mu(S) = \int_S {1\over |\det(X)|^n} \, dX$

kie _dX_ signifas la Lebega mezuro sur R^{$n 2$}, la aro de ĉiuj $n\times n$ -matricoj. Ĉi tiu sekvas de la ŝanĝi de (variabloj, variablas) formulo.

Pli ĝenerale, sur (ĉiu, iu) Grupo de Lie de dimensio d (maldekstre, restis) Mezuro de Haar povas esti asociita kun (ĉiu, iu) ne-nulo (maldekstre, restis)-invarianto d-(formo, formi) ω, kiel la Lebega mezuro |ω|; kaj simile por (ĝusta, dekstra, rajto) _Haar_ (mezuras, kriterioj, kriterias, mezuroj). Ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) ankaŭ (tiu, ke, kiu) la modula funkcio povas esti komputita, kiel la absoluta valoro de la determinanto de la adjunkta prezento.

[redaktu] La modula funkcio

La (maldekstre, restis) traduki de (ĝusta, dekstra, rajto) Mezuro de Haar estas (ĝusta, dekstra, rajto) Mezuro de Haar. Pli detale, se μ estas (ĝusta, dekstra, rajto) Mezuro de Haar, tiam

$A \mapsto \mu (t^{-1} A) \quad$

estas ankaŭ (ĝusta, dekstra, rajto) invarianto. Tial, tie ekzistas unika funkcio Δ (nomita, vokis) la modula funkcio tia (tiu, ke, kiu) por ĉiu Borela aro A

$\mu (t^{-1} A) = \Delta(t) \mu(A). \quad$

Grupo estas _unimodular_ se kaj nur se la modula funkcio estas idente 1. (Ekzemploj, Ekzemplas) de _unimodular_ (grupoj, grupas) estas kompaktaj grupoj kaj komutaj grupoj. Ekzemplo de ne _unimodular_ grupo estas la _ax_ + b grupo de (transformoj, transformas) de la (formo, formi)

$x \mapsto a x + b\quad$

sur la reela linio.

[redaktu] Referencoj

(Paŭlo, Bono) _Halmos_, Mezuri Teorio, Don/Doña kamioneto _Nostrand_ kaj Co., 1950.
_Lynn_ _Loomis_, An Enkonduko al Abstrakta Harmona Analitiko, Don/Doña kamioneto _Nostrand_ kaj Co., 1953.
_André_ Weil-a, Baza Nombra Teorio, Akademia Premi, 1971

[redaktu] Vidi ankaŭ

Alfredo _Haar_

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Mezuro_de_Haar_5c14.html"