Vikipedio:Projekto matematiko/Meznombra valora teoremo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Meznombra valora teoremo
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

Por (ĉiu, iu) funkcia tio estas kontinua sur [a, b] kaj diferencialebla sur (a, b) tie ekzistas iu c en la intervalo (a, b) tia (tiu, ke, kiu) la (sekcanto, sekanto) (aniĝanta, aliganta, aliĝanta) la (finpunktoj, finaj punktoj) de la intervalo [a, b] estas paralelo al la tangento je c.

En kalkulo, la meznombra valora teoremo ŝtatoj, malglate, (tiu, ke, kiu) donita sekcio de glata kurbo, estas punkto sur (tiu, ke, kiu) sekcio je kiu la gradiento (inklino) de la kurbo estas egala al la "averaĝa" gradiento de la sekcio. Ĝi estas uzita al pruvi (teoremoj, teoremas) (tiu, ke, kiu) fari malloka (konkludoj, konkludas) pri funkcio sur intervalo startanta de lokaj hipotezoj pri derivaĵoj je punktoj de la intervalo.

Ĉi tiu teoremo povas esti komprenita konkrete per aplikanta ĝi al moviĝo: se aŭtomobilo (vojaĝoj, vojaĝas) cent (mejloj, mejlas) en unu horo, tiel ke ĝia averaĝa rapido dum (tiu, ke, kiu) tempo estis 100 (mejloj, mejlas) por horo, tiam iam ĝia _instantaneous_ rapido devas havi estas akurate 100 (mejloj, mejlas) por horo.

Ĉi tiu teoremo estis unua ellaborita en Barato per _Parameshvara_ (1370 – (1460, Kategorio:1460)) en la Keralaa Lernejo, kaj poste per Lagrange-a (1736 – 1813). Ĝi estas la plej grava rezulto en diferenciala kalkulo kaj estas esenca en pruvanta la fundamenta teoremo de kalkulo. La teoremo estas ne ofte kutima solvi matematikaj problemoj; iom, ĝi estas pli kutime kutima pruvi alia (teoremoj, teoremas). La meznombra valora teoremo povas kutimi pruvi Teoremo de Taylor, kies ĝi estas speciala okazo.

Enhavo

1 Formala (propozicio, frazo, ordono)
2 Pruvo
3 Koŝia meznombra valora teoremo
- 3.1 Pruvo de Koŝia meznombra valora teoremo
4 Meznombraj valoraj teoremoj por integralado
5 Vidi ankaŭ
6 Ekstera (ligoj, ligas)

[redaktu] Formala (propozicio, frazo, ordono)

Estu f : [a, b] → R esti kontinua funkcio sur la segmento [a, b], diferencialebla sur la (malfermi, malfermita) intervalo (a, b). Tiam, tie ekzistas iu c en (a, b) tia (tiu, ke, kiu)

$f ' (c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

La meznombra valora teoremo estas ĝeneraligo de Teoremo de Rolle, kiu alprenas f(a) = f(b), tiel ke la dekstra flanko pli supre estas nulo.

La meznombra valora teoremo estas ankoraŭ valida en malmulte pli ĝenerala opcio, nur unu (bezonas, bezonoj) al alpreni (tiu, ke, kiu) f : [a, b] → R estas kontinua sur [a, b], kaj (tiu, ke, kiu) por ĉiu x en (a, b) la limigo

$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

ekzistas kiel finia nombro aŭ egalas ±∞.

[redaktu] Pruvo

Komprenanta de ĉi tiu kaj la punkto-inklina formulo estos fari ĝi klara (tiu, ke, kiu) la ekvacio de (sekcanto, sekanto) (kiu sekcas (a, f(a)) kaj (b, f(b)) ) estas: y = {[f(b) − f(a)] / [b − a]}(x − a) + f(a).

La formulo ( f(b) − f(a) ) / (b − a) donas la inklino de la linio (aniĝanta, aliganta, aliĝanta) la punktoj (a, f(a)) kaj (b, f(b)), kiu ni (voko, voki) (ŝnuro, ĥordo, akordo) de la kurbo, dum f ' (x) donas la inklino de la tangento al la kurbo je la punkto (x, f(x) ). Tial la Meznombra valora teoremo diras (tiu, ke, kiu) donita (ĉiu, iu) (ŝnuro, ĥordo, akordo) de glata kurbo, ni povas trovi punkto (natranta, lesivanta) inter la (randoj, randas) de la (ŝnuro, ĥordo, akordo) tia (tiu, ke, kiu) la tangento je (tiu, ke, kiu) punkto estas paralelo al la (ŝnuro, ĥordo, akordo). Jena pruvo ilustras ĉi tiu ideo.

Difini g(x) = f(x) + _rx_, kie r estas konstanto. Ekde f estas kontinua sur [a, b] kaj diferencialebla sur (a, b), la sama estas vera de g. Ni elekti r tiel ke g (verigas, kontentigas) la kondiĉoj de Teoremo de Rolle, kiu (meznombroj, meznombras, signifas)

$g(a) = g(b) \qquad \Rightarrow \qquad f(a) + ra = f(b) + rb$

$\Rightarrow \qquad r = - \frac{ f(b) - f(a) }{ b - a}$

Per Teoremo de Rolle, estas iu c en (a, b) por kiu g '(c) = 0, kaj ĝi sekvas

$f ' (c) = g ' (c) - r = 0 - r = \frac{ f(b) - f(a) }{ b - a}$

kiel postulis.

[redaktu] Koŝia meznombra valora teoremo

Koŝia meznombra valora teoremo, ankaŭ sciata kiel la etendis meznombra valora teoremo, estas la pli ĝenerala (formo, formi) de la meznombra valora teoremo. Ĝiaj ŝtatoj: Se funkcioj f(t) kaj g(t) estas ambaŭ kontinua sur la segmento [a, b], diferencialebla sur la (malfermi, malfermita) intervalo (a, b), kaj g'(t) estas ne nulo sur (tiu, ke, kiu) (malfermi, malfermita) intervalo, tiam tie ekzistas iu c en (a, b), tia (tiu, ke, kiu)

$\frac {f'(c)} {g'(c)} = \frac {f(b) - f(a)} {g(b) - g(a)}.$

Koŝia meznombra valora teoremo povas kutimi pruvi l'_Hopital_'s regulo. La meznombra valora teoremo estas la speciala okazo de Koŝia (meznombro, signifi) valoro kiam g(t) = pt + q kie p kaj q estas (konstantoj, konstantas) kaj p ≠ 0.

[redaktu] Pruvo de Koŝia meznombra valora teoremo

La pruvo de Koŝia meznombra valora teoremo estas bazita sur la sama ideo kiel la pruvo de meznombra valora teoremo. Unua ni difini nova funkcio h(t) kaj tiam ni celi al (konverti, konverto) ĉi tiu funkcio tiel ke ĝi (verigas, kontentigas) la kondiĉoj de Teoremo de Rolle.

h (t) = f (t) - m g (t)

kie m estas konstanto. Ni elekti m tiel ke

$h(a) = h(b) \qquad \Rightarrow \qquad m = \frac {f(b) - f(a)} {g(b) - g(a)}$

Ekde h estas kontinua kaj h(a) = h(b), per Teoremo de Rolle, tie ekzistas iu c en (a, b) tia (tiu, ke, kiu) h′(c) = 0, kio estas

$h'(c) = 0 \ = \ f'(c) - \frac {f(b) - f(a)} {g(b) -g(a)} g'(c)$

$\Rightarrow \qquad \frac {f'(c)} {g'(c)}\ = \ \frac {f(b) - f(a)} {g(b) - g(a)}$

kiel postulis.

[redaktu] Meznombraj valoraj teoremoj por integralado

La unua meznombra valora teoremo por integralado ŝtatoj

Se G : [a, b] → R estas kontinua funkcio kaj φ : [a, b] → R estas integralebla pozitiva funkcio, tiam tie ekzistas nombro x en (a, b) tia (tiu, ke, kiu)

$\int_a^b G(t)\varphi (t) \, dt=G(x) \int_a^b \varphi (t) \, dt.$

En aparta por φ(t) = 1, tie ekzistas x en (a, b) tia (tiu, ke, kiu)

$\int_a^b G(t) \, dt=\ G(x)(b - a).\,$

La (sekundo, dua) meznombra valora teoremo por integralado estas komencita kiel sekvas (_Hiroshi_ _Okamura_, 1947))

Se G : [a, b] → R estas monotone malkreskanta funkcio kaj φ : [a, b] → R estas integralebla funkcio, tiam tie ekzistas nombro x en (a, b) tia (tiu, ke, kiu)

$\int_a^b G(t)\varphi(t)\,dt = G(a+0) \int_a^x \varphi(t)\,dt + G(b-0) \int_x^b \varphi(t)\,dt.$