Vikipedio:Projekto matematiko/Matrica eksponenta funkcio

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Matrica eksponenta funkcio
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, la matrica eksponenta funkcio estas funkcio sur kvadrataj matricoj analoga al la ordinara eksponenta funkcio. Abstrakte, la matrica eksponenta funkcio donas la ligo inter matrico (Mensogi, Kuŝi) algebro kaj la (korespondanta, respektiva) Grupo de Lie.

Estu X esti n×n (reala, reela) aŭ kompleksa matrico. La eksponenta funkcio de X, signifis per e^X aŭ (eksp, exp)(X), estas la n×n matrico donita per la potencoserio:

$e^X = \sum_{k=0}^\infty{X^k \over k!}.$

La pli supre serio ĉiam konverĝas, (do, tiel) la eksponenta funkcio de X estas bone-difinita. (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) se X estas 1×1 matrico la matrica eksponenta funkcio de X korespondas kun la ordinara eksponenta funkcio de X penso de kiel nombro.

Enhavo

1 Propraĵoj
2 Komputanta la matrica eksponenta funkcio
3 Kalkuloj
4 Aplikoj
- 4.1 Linearaj diferencialaj ekvacioj
5 Vidi ankaŭ
6 Referencoj

[redaktu] Propraĵoj

Estu X kaj Y esti n×n kompleksaj matricoj kaj estu a kaj b esti ajnaj kompleksaj nombroj. Ni signifi la n×n identa matrico per Mi kaj la nula matrico per 0. La matrica eksponenta funkcio (verigas, kontentigas) jenaj propraĵoj:

$e 0 = I$ .
$e a X e b X = e (a + b) X$ .
$e X e - X = I$ .
Se $Y$ estas inversigebla tiam $e^{YXY^{-1}} = Ye^XY^{-1}$ .
$det(e X) = e tr(X) .$
(eksp, exp)(X^T) = (e^X)^T, kie X^T signifas la transponi de X. Ĝi sekvas (tiu, ke, kiu) se X estas simetria tiam e^X estas ankaŭ simetria, kaj (tiu, ke, kiu) se X estas deklivo-simetria tiam e^X estas perpendikulara.
(eksp, exp)(X^*) = (e^X)^*, kie X^* signifas la konjugita transpono de X. Ĝi sekvas (tiu, ke, kiu) se X estas Hermita tiam e^X estas ankaŭ Hermita, kaj (tiu, ke, kiu) se X estas deklivo-Hermita tiam e^X estas (unita (ankaŭ unuohava [ringo], unuargumenta).

[redaktu] Linearaj diferencialaj ekvacioj

Unu de la kaŭzoj por la graveco de la matrica eksponenta funkcio estas (tiu, ke, kiu) ĝi povas kutimi solvi sistemoj de linearaj ordinaraj diferencialaj ekvacioj. Ja, ĝi sekvas de ekvacio (1) pli sube (tiu, ke, kiu) la solvaĵo de

$\frac{d}{dt} y(t) = Ay(t), \quad y(0) = y_0,$

kie A estas matrico, estas donita per

$y(t) = e^{At} y_0. \,$

La matrica eksponenta funkcio povas ankaŭ kutimi solvi la _inhomogeneous_ ekvacio

$\frac{d}{dt} y(t) = Ay(t) + z(t), \quad y(0) = y_0.$

Vidi la sekcio sur aplikoj pli sube por (ekzemploj, ekzemplas).

Estas ne fermit-forma solvaĵo por diferencialaj ekvacioj de la (formo, formi)

$\frac{d}{dt} y(t) = A(t) \, y(t), \quad y(0) = y_0,$

kie A estas ne konstanto, sed la _Magnus_ serio donas la solvaĵo kiel malfinio (sumo, sumi).

[redaktu] La eksponenta funkcio de (sumoj, sumas)

Ni scii (tiu, ke, kiu) la eksponenta funkcio (verigas, kontentigas) $e x + y = e x e y$ por (ĉiu, iu) nombroj x kaj y. La sama iras por komuteblaj matricoj: Se la matricoj X kaj Y komutiĝi (signifo (tiu, ke, kiu) _XY_ = _YX_), tiam

$e^{X+Y} = e^Xe^Y. \,$

Tamen, se ili ne komutiĝi, tiam la pli supre egaleco ne bezone teni. En (tiu, ke, kiu) (kesto, okazo), ni povas uzi la Bakisto-_Campbell_-Hausdorff-a formulo al komputi $e X + Y$ .

[redaktu] La eksponenta funkcia surĵeto

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) la eksponenta funkcio de matrico estas ĉiam ne-degenera matrico. La inverso de e^X estas donita per e^−X. Ĉi tiu estas analoga al la fakto (tiu, ke, kiu) la eksponenta funkcio de kompleksa nombro estas ĉiam nenulo. La matrica eksponenta funkcio tiam donas ni mapo

$\exp \colon M_n(\mathbb C) \to \mbox{GL}(n,\mathbb C)$

de la spaco de ĉiuj n×n matricoj al la ĝenerala lineara grupo, kio estas la grupo de ĉiuj ne-singularaj matricoj. Fakte, ĉi tiu mapo estas (surjekcia, surĵeta) kiu (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) ĉiu ne-degenera matrico povas esti skribita kiel la eksponenta funkcio de iu alia matrico (por ĉi tiu, ĝi estas esenca al konsideri la kampo C de kompleksaj nombroj kaj ne R). La matrica logaritmo donas inverso al ĉi tiu mapo.

Por (ĉiu, iu) du matricoj X kaj Y, ni havi

$\| e^{X+Y} - e^X \| \le \|Y\| e^{\|X\|} e^{\|Y\|},$

kie || &_middot_; || signifas ajna matrica normo. Ĝi sekvas (tiu, ke, kiu) la eksponenta funkcia surĵeto estas kontinua kaj Lipschitz-a kontinua sur kompakta (subaroj, subaras) de M_n(C).

La mapo

$t \mapsto e^{tX}, \qquad t \in \mathbb R$

difinas glata kurbo en la ĝeneralaj linearaj grupaj kiuj pasejoj tra la identa ero je t = 0. Fakte, ĉi tiu donas unu-parametra subgrupo de la ĝenerala lineara grupo ekde

$e^{tX}e^{sX} = e^{(t+s)X}.\,$

La derivaĵo de ĉi tiu kurbo (aŭ tangenta vektoro) je punkto t estas donita per

$\frac{d}{dt}e^{tX} = Xe^{tX}. \qquad (1)$

La derivaĵo je t = 0 estas (justa, ĵus) la matrico X, kiu estas al diri (tiu, ke, kiu) X (generas, naskas) ĉi tiu unu-parametra subgrupo.

[redaktu] Komputanta la matrica eksponenta funkcio

[redaktu] Diagonaligebla (kesto, okazo)

Se matrico estas diagonalo:

$A=\begin{bmatrix} a_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & a_2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & a_n \end{bmatrix},$

tiam ĝia eksponenta funkcio povas esti ricevita per (justa, ĵus) _exponentiating_ ĉiu (termo, koeficiento, elemento) sur la ĉefa diagonalo:

$e^A=\begin{bmatrix} e^{a_1} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & e^{a_2} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & e^{a_n} \end{bmatrix}.$

Ĉi tiu ankaŭ permesas unu al _exponentiate_ diagonaligeblaj matricoj. Se A = _UDU_⁻¹ kaj D estas diagonalo, tiam e^A = _Ue_^DU⁻¹.

[redaktu] (Nulpotenca, Nilpotenta) (kesto, okazo)

Matrico N estas (nulpotenca, nilpotenta) se N^q = 0 por iu entjero q. En ĉi tiu (kesto, okazo), la matrica eksponenta funkcio e^N povas esti komputita rekte de la seria elvolvaĵo, kiel la serio finas post finia nombro de (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas):

$e^N = I + N + \frac{1}{2}N^2 + \frac{1}{6}N^3 + \cdots + \frac{1}{(q-1)!}N^{q-1}.$

[redaktu] Ĝenerala (kesto, okazo)

Ajna matrico X (super algebre fermita kampo) povas esti esprimita unike kiel (sumo, sumi)

$X = A + N \,$

kie

A estas diagonaligebla
N estas (nulpotenca, nilpotenta)
A komutiĝas kun N (kio estas _AN_ = _NA_)

Ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) ni povas komputi la eksponenta funkcio de X per reduktanta al la antaŭa du (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas):

$e^X = e^{A+N} = e^A e^N. \,$

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) ni (bezoni, bezono, necesa) la komuteco de A kaj N por la lasta (ŝtupo, paŝi) al laboro.

Alia (proksime rilatanta) maniero estas al laboro kun la (Jordanio, Jordano, Jordan) (formo, formi) de X. Supozi J estas la (Jordanio, Jordano, Jordan) (formo, formi) de X, kun P la traira matrico. Tiam

$e^{X}=Pe^{J}P^{-1}.\,$

Ankaŭ, ekde

$J=J_{a_1}(\lambda_1)\oplus J_{a_2}(\lambda_2)\oplus\cdots\oplus J_{a_n}(\lambda_n),$

$e^{J}\,$	$= \exp \big( J_{a_1}(\lambda_1)\oplus J_{a_2}(\lambda_2)\oplus\cdots\oplus J_{a_n}(\lambda_n) \big)$
	$= \exp \big( J_{a_1}(\lambda_1) \big) \oplus \exp \big( J_{a_2}(\lambda_2) \big) \oplus\cdots\oplus \exp \big( J_{a_k}(\lambda_k) \big).$

Pro tio, ni (bezoni, bezono, necesa) nur scii al komputi la matrica eksponenta funkcio de Jordana baro. Sed ĉiu Jordana baro estas de la (formo, formi)

$J_{a}(\lambda) = \lambda I + N \,$

kie N estas speciala (nulpotenca, nilpotenta) matrico. La matrica eksponenta funkcio de ĉi tiu (bari, bloko) estas donita per

$e^{\lambda I + N} = e^{\lambda}e^N. \,$

[redaktu] Kalkuloj

Konsideri la matrico

$B=\begin{bmatrix} 21 & 17 & 6 \\ -5 & -1 & -6 \\ 4 & 4 & 16 \end{bmatrix}$

kiu havas (Jordanio, Jordano, Jordan) (formo, formi)

$J=\begin{bmatrix} 16 & 1 & 0 \\ 0 & 16 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$

kaj traira matrico

$P=\begin{bmatrix} -1 & 1 & {5 \over 8} \\ 1 & -1 & -{1\over 8} \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}$

Nun,

$J=J_2(16)\oplus J_1(4)$

kaj

$e^B = P e^{J} P^{-1} = P (e^{J_2(16)} \oplus e^{J_1(4)} ) P^{-1}.$

(Do, Tiel),

$\exp \left( 16I+\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \right) = e^{16}\left(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + {1 \over 2!}\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}+\cdots\right)=\begin{bmatrix} e^{16} & e^{16} \\ 0 & e^{16} \end{bmatrix}$

La eksponenta funkcia kalkulo por 1×1 matrico estas klare bagatela, kun e^J₁(4)=e⁴ (do, tiel),

$e^B = P\begin{bmatrix} e^{16} & e^{16} & 0 \\ 0 & e^{16} & 0 \\ 0 & 0 & e^4 \end{bmatrix}P^{-1} = {1\over 4}\begin{bmatrix} 5e^4-e^{16} & 5e^4 - 5 e^{16} & -2e^{16} \\ -e^4 + e^{16} & -e^4 + 5e^{16} & 2e^{16} \\ 0 & 0 & 4e^{16} \end{bmatrix}$

Klare, al kalkuli la (Jordanio, Jordano, Jordan) (formo, formi) kaj al (komputi, pritaksi) la eksponenta funkcio tiamaniere estas tre teda. Ofte, ĝi estos ofte sufiĉi al kalkuli la ago de la eksponenta funkcia matrico sur iu vektoro en aplikoj, kaj estas aliaj manieroj havebla al (efektivigi, atingi) ĉi tiu.

[redaktu] Aplikoj

[redaktu] Linearaj diferencialaj ekvacioj

La matrica eksponenta funkcio havas aplikoj al sistemoj de linearaj diferencialaj ekvacioj. Memori (tiu, ke, kiu) diferenciala ekvacio de la (formo, formi)

y′ = Cy

havas solvaĵo e^Cx. Se ni konsideri la vektoro

$\mathbf{y}(x) = \begin{pmatrix} y_1(x) \\ \vdots \\y_n(x) \end{pmatrix}$

ni povas (ekspreso, esprimi) sistemo de (duopis, kuplita, parita) linearaj diferencialaj ekvacioj kiel

$\mathbf{y}'(x) = A\mathbf{y}(x)+\mathbf{b}$

Se ni fari _ansatz_ kaj uzi integralanta faktoro de e^−_Ax_ kaj multipliki (rekte tra, entute), ni ricevi

$e^{-Ax}\mathbf{y}'(x)-e^{-Ax}A\mathbf{y} = e^{-Ax}\mathbf{b}$

$D (e^{-Ax}\mathbf{y}) = e^{-Ax}\mathbf{b}$

Se ni povas kalkuli e^_Ax_, tiam ni povas ricevi la solvaĵo al la sistemo.

[redaktu] Ekzemplo (homogena)

Diri ni havi la sistemo

$\begin{matrix} x' &=& 2x&-y&+z \\ y' &=& &3y&-1z \\ z' &=& 2x&+y&+3z \end{matrix}$

Ni havi la asociita matrico

$M=\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

En la ekzemplo pli supre, ni havi kalkulita la matrica eksponenta funkcio

$e^{tM}=\begin{bmatrix} 2e^t - 2te^{2t} & -2te^{2t} & 0 \\ -2e^t + 2(t+1)e^{2t} & 2(t+1)e^{2t} & 0 \\ 2te^{2t} & 2te^{2t} & 2e^t\end{bmatrix}$

(do, tiel) la ĝenerala solvaĵo de la sistemo estas

$\begin{bmatrix}x \\y \\ z\end{bmatrix}= C_1\begin{bmatrix}2e^t - 2te^{2t} \\-2e^t + 2(t+1)e^{2t}\\2te^{2t}\end{bmatrix} +C_2\begin{bmatrix}-2te^{2t}\\2(t+1)e^{2t}\\2te^{2t}\end{bmatrix} +C_3\begin{bmatrix}0\\0\\2e^t\end{bmatrix}$

tio estas,

$\begin{matrix} x &=& C_1(2e^t - 2te^{2t}) + C_2(-2te^{2t})\\ y &=& C_1(-2e^t + 2(t+1)e^{2t})+C_2(2(t+1)e^{2t})\\ z &=& (C_1+C_2)(2te^{2t})+2C_3e^t\end{matrix}$

[redaktu] _Inhomogeneous_ (kesto, okazo) - variado de (parametroj, parametras)

Por la _inhomogeneous_ (kesto, okazo), ni povas uzi maniero _akin_ al variado de (parametroj, parametras). Ni (strebi, kandidati) aparta solvaĵo de la (formo, formi) y_p(t)=(eksp, exp)(_tA_)z(t) :

$\mathbf{y}_p' = (e^{tA})'\mathbf{z}(t)+e^{tA}\mathbf{z}'(t)$

$= Ae^{tA}\mathbf{z}(t)+e^{tA}\mathbf{z}'(t)$

$= A\mathbf{y}_p(t)+e^{tA}\mathbf{z}'(t)$

Por y_p al esti solvaĵo:

$e^{tA}\mathbf{z}'(t) = \mathbf{b}(t)$

$\mathbf{z}'(t) = (e^{tA})^{-1}\mathbf{b}(t)$

$\mathbf{z}(t) = \int_0^t e^{-uA}\mathbf{b}(u)\,du+\mathbf{c}$

(Do, Tiel),

$\mathbf{y}_p = e^{tA}\int_0^t e^{-uA}\mathbf{b}(u)\,du+e^{tA}\mathbf{c}$

$= \int_0^t e^{(t-u)A}\mathbf{b}(u)\,du+e^{tA}\mathbf{c}$

kie c estas difinita per la komencaj kondiĉoj de la problemo.

[redaktu] Ekzemplo (_inhomogeneous_)

Diri ni havi la sistemo

$\begin{matrix} x' &=& 2x&-y&+z&+e^{2t} \\ y' &=& &3y&-1z& \\ z' &=& 2x&+y&+3z&+e^{2t} \end{matrix}$

(Do, Tiel) ni tiam havi

$M=\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

kaj

$\mathbf{b}=e^{2t}\begin{bmatrix}1 \\0\\1\end{bmatrix}$

De antaŭ, ni havi la ĝenerala solvaĵo al la homogena ekvacio, Ekde la (sumo, sumi) de la homogena kaj apartaj solvaĵoj doni la ĝenerala solvaĵo al la _inhomogeneous_ problemo, nun ni nur (bezoni, bezono, necesa) al trovi la aparta solvaĵo (tra variado de (parametroj, parametras)).

Ni havi, pli supre:

$\mathbf{y}_p = e^{t}\int_0^t e^{(-u)A}\begin{bmatrix}e^{2u} \\0\\e^{2u}\end{bmatrix}\,du+e^{tA}\mathbf{c}$

$\mathbf{y}_p = e^{t}\int_0^t \begin{bmatrix} 2e^u - 2ue^{2u} & -2ue^{2u} & 0 \\ \\ -2e^u + 2(u+1)e^{2u} & 2(u+1)e^{2u} & 0 \\ \\ 2ue^{2u} & 2ue^{2u} & 2e^u\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e^{2u} \\0\\e^{2u}\end{bmatrix}\,du+e^{tA}\mathbf{c}$

$\mathbf{y}_p = e^{t}\int_0^t \begin{bmatrix} e^{2u}( 2e^u - 2ue^{2u}) \\ \\ e^{2u}(-2e^u + 2(1 + u)e^{2u}) \\ \\ 2e^{3u} + 2ue^{4u}\end{bmatrix}+e^{tA}\mathbf{c}$

$\mathbf{y}_p = e^{t}\begin{bmatrix} -{1 \over 24}e^{3t}(3e^t(4t-1)-16) \\ \\ {1 \over 24}e^{3t}(3e^t(4t+4)-16) \\ \\ {1 \over 24}e^{3t}(3e^t(4t-1)-16)\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 2e^t - 2te^{2t} & -2te^{2t} & 0 \\ \\ -2e^t + 2(t+1)e^{2t} & 2(t+1)e^{2t} & 0 \\ \\ 2te^{2t} & 2te^{2t} & 2e^t\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_1 \\c_2 \\c_3\end{bmatrix}$

kiu povas esti plui (simpligita, plisimpligita) al preni la bezonaĵa aparta solvaĵo difinita tra variado de (parametroj, parametras).

[redaktu] Vidi ankaŭ

eksponenta funkcio
eksponenta funkcia surĵeto
vektora fluo

[redaktu] Referencoj

_Roger_ A. Korno kaj Karlo R. _Johnson_. Temoj en Matrica Analitiko. Kembriĝo (Britio) Universitato Premi, 1991. ISBN 0-521-46713-6.

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Matrica_eksponenta_funkcio_9b8d.html"

Vikipedio:Projekto matematiko/Matrica eksponenta funkcio

El Vikipedio

Enhavo

[redaktu] Propraĵoj

[redaktu] Linearaj diferencialaj ekvacioj

[redaktu] La eksponenta funkcio de (sumoj, sumas)

[redaktu] La eksponenta funkcia surĵeto

[redaktu] Komputanta la matrica eksponenta funkcio

[redaktu] Diagonaligebla (kesto, okazo)

[redaktu] (Nulpotenca, Nilpotenta) (kesto, okazo)

[redaktu] Ĝenerala (kesto, okazo)

[redaktu] Kalkuloj

[redaktu] Aplikoj

[redaktu] Linearaj diferencialaj ekvacioj

[redaktu] Ekzemplo (homogena)

[redaktu] _Inhomogeneous_ (kesto, okazo) - variado de (parametroj, parametras)

[redaktu] Ekzemplo (_inhomogeneous_)

[redaktu] Vidi ankaŭ

[redaktu] Referencoj

Views

Navigado

Serĉu

Aliaj lingvoj