Vikipedio:Projekto matematiko/Limiga punkto

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Limiga punkto (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, neformale parolanta, limiga punkto (aŭ akumuliĝa punkto) de aro S en topologia spaco X estas punkto x en X (tiu, ke, kiu) povas esti "aproksimita" per punktoj de S escepte x kaj ankaŭ unu plaĉas. Ĉi tiu koncepto _profitably_ ĝeneraligas la nocio de limigo kaj estas la _underpinning_ de (konceptoj, konceptas) kiel fermita aro kaj topologia (fermaĵo, adheraĵo). Ja, aro estas (fermita, fermis) se kaj nur se ĝi enhavas ĉiuj de ĝiaj limigaj punktoj, kaj la topologia (fermaĵo, adheraĵo) operacio povas esti penso de kiel operacio (tiu, ke, kiu) _enriches_ aro per adiciantaj ĝiaj limigaj punktoj.

Pratipa ekzemplo de limiga punkto estas akumuliĝa punkto, kiu estas la limigo de vico [1].

[redaktu] Difino

Estu S esti subaro de topologia spaco X. Ni diri (tiu, ke, kiu) punkto x en X estas limiga punkto de S se ĉiu malfermita aro enhavanta x ankaŭ enhavas punkto de S escepte x sin. Ĉi tiu estas ekvivalento al postulanta (tiu, ke, kiu) ĉiu najbaraĵo de x enhavas punkto de S escepte x sin. (Ĝi estas ofte oportuna al uzi la "(malfermi, malfermita) najbaraĵo" (formo, formi) de la difino al montri (tiu, ke, kiu) punkto estas limiga punkto kaj al uzi la "ĝenerala najbaraĵo" (formo, formi) de la difino al derivi (faktoj, faktas) de sciata limiga punkto.)

[redaktu] Iu (faktoj, faktas)

• Ni havi jena karakterizado de limigaj punktoj: x estas limiga punkto de S se kaj nur se ĝi estas en la (fermaĵo, adheraĵo) de S \ {x}.
  • Pruvo: Ni alpreni la fakto (tiu, ke, kiu) punkto estas en la (fermaĵo, adheraĵo) de aro se kaj nur se ĉiu najbaraĵo de la punkto verigas la aro. Nun, x estas limiga punkto de S, se kaj nur se ĉiu najbaraĵo de x enhavas punkto de S escepte x, se kaj nur se ĉiu najbaraĵo de x enhavas punkto de S \ {x}, se kaj nur se x estas en la (fermaĵo, adheraĵo) de S \ {x}.

• Se ni uzi L(S) al signifi la aro de limigaj punktoj de S, tiam ni havi jena karakterizado de la (fermaĵo, adheraĵo) de S: La (fermaĵo, adheraĵo) de S estas egala al la unio de S kaj L(S).
  • Pruvo: ("(Maldekstre, Restis) subaro") Supozi x estas en la (fermaĵo, adheraĵo) de S. Se x estas en S, ni estas farita. Se x estas ne en S, tiam ĉiu najbaraĵo de x enhavas punkto de S, kaj ĉi tiu punkto ne povas esti x. En alia (vortoj, vortas), x estas limiga punkto de S kaj x estas en L(S). ("(Ĝusta, Dekstra, Rajto) subaro") Se x estas en S, tiam ĉiu najbaraĵo de x klare verigas S, (do, tiel) x estas en la (fermaĵo, adheraĵo) de S. Se x estas en L(S), tiam ĉiu najbaraĵo de x enhavas punkto de S (escepte x), (do, tiel) x estas denove en la (fermaĵo, adheraĵo) de S. Ĉi tiu (kompletigas, plenumas) la pruvo.

• Korolario de ĉi tiu rezulto donas ni karakterizado de fermitaj aroj: A aro S estas (fermita, fermis) se kaj nur se ĝi enhavas ĉiuj de ĝiaj limigaj punktoj.
  • Pruvo: S estas (fermita, fermis) se kaj nur se S estas egala al ĝia (fermaĵo, adheraĵo) se kaj nur se S = S ∪ L(S) se kaj nur se L(S) estas enhavita en S.
  • Alia pruvo: Estu S esti fermita aro kaj x limiga punkto de S. Tiam x devas furori S, por alie la komplemento de S devus esti (malfermi, malfermita) najbaraĵo de x (tiu, ke, kiu) ne sekci S. Male, alpreni S enhavas ĉiuj ĝiaj limigaj punktoj. Ni estos montri (tiu, ke, kiu) la komplemento de S estas malfermita aro. Estu x esti punkto en la komplemento de S. Per (premiso, supozo), x estas ne limiga punkto, kaj de ĉi tie tie ekzistas (malfermi, malfermita) najbaraĵo U de x (tiu, ke, kiu) ne sekci S, kaj (do, tiel) U (mensogoj, mensogas, kuŝas) tute en la komplemento de S. De ĉi tie la komplemento de S estas (malfermi, malfermita).

• Ne izolita punkto estas limiga punkto de (ĉiu, iu) aro.
  • Pruvo: Se x estas izolita punkto, tiam {x} estas najbaraĵo de x (tiu, ke, kiu) enhavas ne punktoj escepte x.

• Spaco X estas diskreta se kaj nur se ne subaro de X havas limiga punkto.
  • Pruvo: Se X estas diskreta, tiam ĉiu punkto estas izolita kaj ne povas esti limiga punkto de (ĉiu, iu) aro. Male, se X estas ne diskreta, tiam estas _singleton_ {x} tio estas ne (malfermi, malfermita). De ĉi tie, ĉiu (malfermi, malfermita) najbaraĵo de {x} enhavas punkto y ≠ x, kaj (do, tiel) x estas limiga punkto de X.

• Se spaco X havas la maldiskreta topologio kaj S estas subaro de X kun pli ol unu ero, tiam ĉiuj eroj de X estas limigaj punktoj de S. Se S estas _singleton_, tiam ĉiu punkto de X \ S estas ankoraŭ limiga punkto de S.
  • Pruvo: Kiel longa kiel S \ {x} estas nemalplena, ĝia (fermaĵo, adheraĵo) estos esti X. Ĝi's nur malplena kiam S estas malplena aŭ x estas la unika ero de S.