Vikipedio:Projekto matematiko/Kurbo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Kurbo
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, la koncepto de kurbo (penas, provas) al (enkapti, kapto) la intuicia ideo de geometria unu-dimensia kaj kontinua objekto. Simpla (ekzemploj, ekzemplas) estas la cirklo aŭ la rekto. Granda nombro de aliaj kurboj havi estas studita en geometrio.

Ĉi tiu artikolo estas pri la ĝenerala teorio. La (termo, membro, flanko, termino) kurbo estas ankaŭ uzita en (vojoj, vojas) farante ĝi preskaŭ sinonimoa kun matematika funkcio (kiel en lerna kurbo), aŭ (grafikaĵo, grafeo) (_Phillips_ kurbo).

Enhavo

1 (Difinoj, Difinas)
2 (Konvencioj, Konvencias) kaj terminologio
3 (Longoj, Longas) de kurboj
4 Diferenciala geometrio
5 Algebra kurbo
6 Historio
7 Vidu ankaŭ jenon:
8 Ekstera (ligoj, ligas)

[redaktu] (Difinoj, Difinas)

En matematiko, (topologia) kurbo estas difinita kiel sekvas. Estu $I$ esti intervalo de reelaj nombroj (kio estas ne-malplena koneksa subaro de $\mathbb{R}$ ). Tiam kurbo $\!\,\gamma$ estas kontinua surĵeto $\,\!\gamma : I \rightarrow X$ , kie $X$ estas topologia spaco. La kurbo $\!\,\gamma$ estas dirita al esti simpla se ĝi estas (disĵeta, enjekcia), kio estas se por ĉiuj $x$ , $y$ en $I$ , ni havi $\,\!\gamma(x) = \gamma(y) \rightarrow x = y$ . Se $I$ estas (fermita, fermis) barita intervalo $\,\![a, b]$ , ni ankaŭ permesi la ebleco $\,\!\gamma(a) = \gamma(b)$ (ĉi tiu konvencio (konstruas, faras) ĝi ebla al (konversacii, konversacio, prelego) pri (fermita, fermis) simpla kurbo). Se $γ(x) = γ(y)$ por iu $x\ne y$ (escepte la _extremities_ de $I$ ), tiam $γ(x)$ estas (nomita, vokis) duopa (aŭ: multaj) punkto de la kurbo.

Kurbo $\!\,\gamma$ estas dirita al esti (fermita, fermis) aŭ ciklo se $\,\!I = [a, b]$ kaj se $\!\,\gamma(a) = \gamma(b)$ . (Fermita, Fermis) kurbo estas tial kontinua surĵeto de la cirklo $S 1$ ; simpla (fermita, fermis) kurbo estas ankaŭ (nomita, vokis) (Jordanio, Jordano, Jordan) kurbo.

ebena kurbo estas kurbo por kiu X estas la matematika ebeno — ĉi tiuj estas la (ekzemploj, ekzemplas) unua renkontis — aŭ en iu (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) la projekcia ebeno. neebena kurbo estas kurbo por kiu X estas de tri (dimensioj, dimensias), kutime Eŭklida spaco; dekliva kurbo estas neebena kurbo kiu (mensogoj, mensogas, kuŝas) en ne ebeno. Ĉi tiuj (difinoj, difinas) ankaŭ turni sin al algebraj kurboj (vidi pli sube).

Ĉi tiu difino de kurbo (enkaptas, kaptoj, kaptas) nia intuicia nocio de kurbo kiel koneksa, kontinua geometria (cifero, figuro) tio estas "ŝati" linio, kvankam ĝi ankaŭ inkluzivas (ciferoj, ciferas, geometriaj figuroj, figuroj, figuras) (tiu, ke, kiu) povas esti (senkompate, malkompateme, apenaŭ, peze) (nomita, vokis) kurboj en komuna uzado. Ekzemple, la bildo de kurbo povas kovri kvadrato en la ebeno (Peana kurbo). La bildo de simpla ebena kurbo povas havi Dimensio de Hausdorff pli granda ol unu (vidi _Koch_ neĝero) kaj (ebena, para, eĉ) pozitiva Lebega mezuro (la lasta ekzemplo povas esti ricevita per malgranda variado de la Peana kurba konstruado). La estas ankoraŭ alia bizara ekzemplo.

[redaktu] (Konvencioj, Konvencias) kaj terminologio

La distingo inter kurbo kaj ĝia bildo estas grava. Du klaraj kurboj (majo, povas) havi la sama bildo. Ekzemple, (segmento de linio, segmento, streko) povas esti spurita ekster je malsamaj rapidoj, aŭ cirklo povas esti _traversed_ malsama nombro de (tempoj, tempas). Multaj (tempoj, tempas), tamen, ni estas (justa, ĵus) (interezis, interesita) en la bildo de la kurbo. Ĝi estas grava al atenti ĉirkaŭteksto kaj konvencio en leganta.

Terminologio estas ankaŭ ne uniformo. Ofte, (topologiistoj, topologiistas) uzi la (termo, membro, flanko, termino) "vojo" por kio ni estas vokanta kurbo, kaj "kurbo" por kio ni estas vokanta la bildo de kurbo. La (termo, membro, flanko, termino) "kurbo" estas pli komuna en vektora kalkulo kaj diferenciala geometrio.

[redaktu] (Longoj, Longas) de kurboj

Se $X$ estas metrika spaco kun metriko $d$ , tiam ni povas difini la longo de kurbo $\!\,\gamma : [a, b] \rightarrow X$ per

$\mbox{Length} (\gamma)=\sup \left\{ \sum_{i=1}^n d(\gamma(t_i),\gamma(t_{i-1})) : n \in \mathbb{N} \mbox{ and } a = t_0 < t_1 < \dots < t_n = b \right\}.$

rektifebla kurbo estas kurbo kun finia longo. Parametrigo de $\!\,\gamma$ estas (nomita, vokis) natura (aŭ unua rapido aŭ _parametrised_ per arka longo) se por (ĉiu, iu) $t 1$ , $t 2$ en $[a, b]$ , ni havi

$\mbox{Length} (\gamma|_{[t_1,t_2]})=|t_2-t_1|.$

Se $\!\,\gamma$ estas Lipschitz-a tiam ĝi estas aŭtomate rektifebla. Ankaŭ, en ĉi tiu (kesto, okazo), unu povas difini rapido de $\!\,\gamma$ je $t 0$ kiel

$\mbox{Speed}(t_0)=\limsup_{t\to t_0} {d(\gamma(t),\gamma(t_0))\over |t-t_0|}$

kaj tiam

$\mbox{Length}(\gamma)=\int_a^b \mbox{Speed}(t) \, dt.$

En aparta, se $X = \mathbb{R}^n$ estas Eŭklida spaco kaj $\gamma : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^n$ estas diferencialebla tiam

$\mbox{Length}(\gamma)=\int_a^b \left| \, {d\gamma \over dt} \, \right| \, dt.$

[redaktu] Diferenciala geometrio

Ĉefa artikolo: diferenciala geometrio de kurboj

Dum la unua (ekzemploj, ekzemplas) de kurboj (tiu, ke, kiu) estas renkontita estas plejparte ebenaj kurboj (tio estas, en ĉiutaga (vortoj, vortas), liniitaj linioj en du-dimensia spaco), estas evidenta (ekzemploj, ekzemplas) kiel la helico kiu ekzisti (naive, krude, nature) en tri (dimensioj, dimensias). La (bezonas, bezonoj) de geometrio, kaj ankaŭ ekzemple klasika mekaniko estas al havi nocio de kurbo en spaco de (ĉiu, iu) nombro de (dimensioj, dimensias). En fizika relativeco, monda linio estas kurbo en spactempo.

Se $X$ estas diferencialebla dukto, tiam ni povas difini la nocio de diferencialebla kurbo en $X$ . Ĉi tiu ĝenerala ideo estas sufiĉa al kovri multaj de la aplikoj de kurboj en matematiko. De loka punkto de vido unu povas preni $X$ al esti Eŭklida spaco. Aliflanke ĝi estas utila al esti pli ĝenerala, en (tiu, ke, kiu) (ekzemple) ĝi estas ebla al difini la tangento (vektoroj, vektoras) al $X$ per ĉi tiu nocio de kurbo.

Se $X$ estas glata (dukto (matematiko), dukto), glata kurbo en $X$ estas glata mapo

$\!\,\gamma : I \rightarrow X.$

Ĉi tiu estas baza nocio. Estas malpli kaj pli limigita (ideoj, ideas), ankaŭ. Se $X$ estas $C k$ (dukto (matematiko), dukto) (kio estas, (dukto (matematiko), dukto) kies (abakoj, abakas) estas $k$ (tempoj, tempas) kontinue diferencialebla), tiam $C k$ kurbo en $X$ estas tia kurbo kiu estas nur alprenis al esti $C k$ (kio estas $k$ (tempoj, tempas) kontinue diferencialebla). Se $X$ estas analitika dukto (kio estas malfinie diferencialebla kaj (abakoj, abakas) estas esprimebla kiel potencoserio), kaj $\!\,\gamma$ estas analitika mapo, tiam $\!\,\gamma$ estas dirita al esti analitika kurbo.

Diferencialebla kurbo estas dirita al esti regula se ĝia derivaĵo neniam _vanishes_. (En (vortoj, vortas), regula kurbo neniam _slows_ al halti aŭ _backtracks_ sur sin.) Du $C k$ diferencialeblaj kurboj

$\!\,\gamma_1 :I \rightarrow X$ kaj

$\!\,\gamma_2 : J \rightarrow X$

estas dirita al esti ekvivalento se estas (dissurĵeta, bijekcia) $C k$ mapo

$\!\,p : J \rightarrow I$

tia (tiu, ke, kiu) la inversa mapo

$\!\,p^{-1} : I \rightarrow J$

estas ankaŭ $C k$ , kaj

$\!\,\gamma_{2}(t) = \gamma_{1}(p(t))$

por ĉiuj $t$ . La mapo $\!\,\gamma_2$ estas (nomita, vokis) _reparametrisation_ de $\!\,\gamma_1$ ; kaj ĉi tiu (konstruas, faras) ekvivalentrilato sur la aro de ĉiuj $C k$ diferencialeblaj kurboj en $X$ . $C k$ arko estas (ekvivalento-klaso, ekvivalentklaso) de $C k$ kurboj sub la rilato de _reparametrisation_.

[redaktu] Algebra kurbo

Ĉefa artikolo: Algebra kurbo

En la opcio de algebra geometrio, kurbo estas kutime difinita al esti algebra kurbo. Ĉi tiuj inkluzivi, ekzemple, elipsaj kurboj, kiu estas studita en nombroteorio kaj kiu havi gravaj aplikoj al ĉifriko. Algebraj kurboj estas pli _akin_ al (surfacoj, surfacas) ol kurboj. Ne-singularaj kompleksaj projekciaj algebraj kurboj estas fakte kompaktaj rimanaj surfacoj.

[redaktu] Historio

Kurbo (majo, povas) esti _locus_, aŭ vojo. Tio estas, ĝi (majo, povas) esti grafika prezento de iu propraĵo de punktoj; aŭ ĝi (majo, povas) esti spurita ekster, ekzemple per bastono en la (sablo (mineralo), sablo) sur plaĝo. Kompreneble se unu diras liniita en ordinara lingvo, ĝi (meznombroj, meznombras, signifas) kurba (ne (streĉita, rekta)), (do, tiel) (ligas, referas) al _locus_. Ĉi tiu (plumboj, plumbas, kondukas) al la ĝenerala ideo de kurbeco. Kiel ni nun kompreni, post Newton-a dinamiko, al sekvi liniita voja korpo devas sperta akcelo. Antaŭ (tiu, ke, kiu), la apliko de aktuala (ideoj, ideas) al (ekzemple) la fiziko de Aristotelo estas (kredeble, verŝajne) _anachronistic_. Ĉi tiu estas grava ĉar majoro (ekzemploj, ekzemplas) de kurboj estas la (orbitoj, orbitas) de la (planedoj, planedas). Unu kaŭzo por la uzi de la _Ptolemaic_ sistemo de _epicycle_ kaj _deferent_ estis la speciala statuso (akordiĝis, konsentita, agordita, konkordita, akordita) al la cirklo kiel kurbo.

La konikoj havis estas profunde studita per Apolonio de _Perga_. Ili estis aplikita en astronomio per Keplero. La Greko (geometriistoj, geometriistas) havita studita multaj alia (specoj, specas) de kurboj. Unu kaŭzo estis ilia (interezo, interesi) en geometriaj konstruoj, iranta preter rektilo-kaj-(cirkelo, kompaso) konstruoj. Tiamaniere, la komunaĵo de kurboj povis kutimi solvi iuj polinomaj ekvacioj, kiel (tiu, ke, kiu) koncernata en _trisecting_ angulo.

Neŭtono ankaŭ laboris sur frua ekzemplo en la kalkulo de variacioj. Solvaĵoj al _variational_ (problemoj, problemas), kiel la _brachistochrone_ kaj _tautochrone_ (demandoj, demandas), prezentitaj propraĵoj de kurboj en nova (vojoj, vojas) (en ĉi tiu (kesto, okazo), la cikloido). La kateno prenas ĝia nomo kiel la solvaĵo al la problemo de pendanta ĉeno, la (speco, ordigo) de demando (tiu, ke, kiu) iĝis _routinely_ alirebla per diferenciala kalkulo.

En la dek-oka jarcento venis la (komenciĝoj, komencoj, komencas) de la teorio de ebenaj algebraj kurboj, en ĝenerala. Neŭtono havis studita la kubaj kurboj, en la ĝenerala priskribo de la (reala, reela) punktoj enen '(ovaloj, ovalas)'. La (propozicio, frazo, ordono) de Teoremo de Bézout montris nombro de (aspektoj, aspektas) kiu estis ne rekte alirebla al la geometrio de la tempo, al fari kun singularaj punktoj kaj kompleksaj solvaĵoj.

De la dek-naŭa jarcento estas ne apartigi kurba teorio, sed iom la (aper(aĵ)o, aspekto) de kurboj kiel la unu-dimensia aspekto de projekcia geometrio, kaj diferenciala geometrio; kaj poste topologio, kiam ekzemple la Jordana kurba teoremo estis komprenita al (mensogi, kuŝi) sufiĉe profunda, kaj ankaŭ estante postulis en kompleksa analitiko. La epoko de la pleniga spacon kurboj fine incitis la moderna (difinoj, difinas) de kurbo.