Vikipedio:Projekto matematiko/Kotangenta pakaĵo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Kotangenta pakaĵo
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En diferenciala geometrio, la kotangenta pakaĵo de (dukto (matematiko), dukto) estas la vektora pakaĵo de ĉiuj kotangentaj spacoj je ĉiu punkto en la (dukto (matematiko), dukto).

Enhavo

1 (Unu-formoj, Unu-formas) (la kotangenta fasko)
- 1.1 Difino de la kotangenta fasko
2 La kotangenta pakaĵo kiel faza spaco
3 Vidu ankaŭ jenon:
4 Referencoj

[redaktu] (Unu-formoj, Unu-formas) (la kotangenta fasko)

Glataj sekcioj de la kotangenta pakaĵo estas diferencialo (unu-formoj, unu-formas).

[redaktu] Difino de la kotangenta fasko

Estu M×M esti la Kartezia produto de M kun sin. La diagonala surĵeto Δ sendas punkto p en M trafe (p,p) de M×M. La bildo de Δ estas (nomita, vokis) la diagonalo. Estu $\mathcal{I}$ esti la fasko de (ĝermoj, ĝermas) de glataj funkcioj sur M×M kiu nuliĝi sur la diagonalo. Tiam la kvocienta fasko $\mathcal{I}/\mathcal{I}^2$ konsistas de (ekvivalento-klasoj, ekvivalentklasoj) de funkcioj kiu nuliĝi sur la diagonalo module pli alta (mendi, ordo) (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas). La kotangenta fasko estas la malantaŭentiro de ĉi tiu fasko al M:

$\Gamma T^*M=\Delta^*(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2).$

Per Teoremo de Taylor, ĉi tiu estas loke finia fasko de (moduloj, modulas) kun respekto al la fasko de (ĝermoj, ĝermas) de glataj funkcioj de M. Tial ĝi difinas vektora pakaĵo sur M: la kotangenta pakaĵo.

[redaktu] La kotangenta pakaĵo kiel faza spaco

La kotangenta pakaĵo X=T*M, ekde ĝi estas vektora pakaĵo, povas esti estimita kiel (dukto (matematiko), dukto) en ĝia posedi (ĝusta, dekstra, rajto). Pro la maniero en kiu la difino de T*M (rilatas, rakontas) al la diferenciala topologio de la baza spaco M, X posedi kanona unu-formo θ (ankaŭ _tautological_ unu-formo aŭ _symplectic_ potencialo). La eksteraĵa derivaĵo de θ estas _symplectic_ 2-(formo, formi), el kiu ne-degeneri volumena formo povas esti konstruita por X. Ekzemple, kiel rezulto X estas ĉiam orientebla dukto (signifo (tiu, ke, kiu) la tangenta pakaĵo de X estas orientebla vektora pakaĵo). Speciala aro de (koordinatoj, koordinatas) povas esti difinita sur la kotangenta pakaĵo; ĉi tiuj estas (nomita, vokis) la kanonaj koordinatoj. Ĉar kotangentaj pakaĵoj povas esti penso de kiel _symplectic_ (duktoj, duktas), (ĉiu, iu) (reala, reela) funkcio sur la kotangenta pakaĵo povas esti interpretita al esti _Hamiltonian_; tial la kotangenta pakaĵo povas esti komprenita al esti faza spaco sur kiu _Hamiltonian_ mekaniko ludas ekster.

[redaktu] La kanona unu-formo

La kotangenta pakaĵo (portoj, portas) _tautological_ unu-formo θ (kutime (nomita, vokis) la kanona unu-formo, kvankam ĉi tiu povas iam (plumbo, konduki) al konfuzo). Ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) se ni estimo T*M kiel (dukto (matematiko), dukto) en ĝia posedi (ĝusta, dekstra, rajto), estas kanona sekcio de la vektora pakaĵo T*(T*M) super T*M. Ĉi tiu sekcio povas esti konstruita en kelkaj (vojoj, vojas). La plej rudimenta maniero estas al uzi loka (koordinatoj, koordinatas). Supozi (tiu, ke, kiu) x^mi estas loka (koordinatoj, koordinatas) sur la bazo (dukto (matematiko), dukto) M. En (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de ĉi tiu bazo (koordinatoj, koordinatas), estas fibro (koordinatoj, koordinatas) p_mi: unu-formo je aparta punkto de T*M havas la (formo, formi) p_mi_dx_^mi (Ejnŝtejna sumada konvencio enhavita). (Do, Tiel) la (dukto (matematiko), dukto) T*M sin _caries_ loka (koordinatoj, koordinatas) (x^mi,p_mi) kie la x estas (koordinatoj, koordinatas) sur la bazo kaj la p estas (koordinatoj, koordinatas) en la fibro. La kanona unu-formo estas donita en ĉi tiuj (koordinatoj, koordinatas) per

$\theta_{(x,p)}=\sum_{{\mathfrak i}=1}^n p_idx^i$

_Intrinsically_, la kanona unu-formo estas donita kiel malantaŭentiro. Aparte, se π:T*M→M estas la projekcio de la pakaĵo, tiam se ω estas unu-formo je punkto x de M (de ĉi tie ero de T*M),

θ (x,ω) = π * ω.

Tio estas: La unu-formo asignas al vektoro en la tangenta pakaĵo de la kotangenta pakaĵo la apliko de la ero en la kotangenta pakaĵo (lineara funkcionalo) al la projekcio de la vektoro enen la tangenta pakaĵo (la diferencialo de la projekcio de la kotangenta pakaĵo al la originala (dukto (matematiko), dukto)).

[redaktu] _Symplectic_ (formo, formi)

La kotangenta pakaĵo havas kanona _symplectic_ 2-(formo, formi) sur ĝi, kiel eksteraĵa derivaĵo de la kanona unu-formo, la _symplectic_ potencialo. Pruvanta ĉi tiu (formo, formi) estas, ja, _symplectic_ povas esti farita per notanta (tiu, ke, kiu) estante _symplectic_ estas loka propraĵo: ekde la kotangenta pakaĵo estas loke bagatela, ĉi tiu difino (bezoni, bezono, necesa) nur esti (kontrolita, kontrolis) sur $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$ . Sed tie la unu (formo, formi) difinita estas la (sumo, sumi) de $y i d x i$ , kaj la diferencialo estas la kanona _symplectic_ (formo, formi), la (sumo, sumi) de $dy_i{\and}dx_i$ .

Vidi ĉefa artikolo _tautological_ unu-formo por (detaloj, detalas).

[redaktu] Faza spaco

Se la (dukto (matematiko), dukto) $M$ prezentas la aro de ebla (pozicioj, pozicias) en dinamika sistemo, tiam la kotangenta pakaĵo $\!\,T^{*}\!M$ povas esti penso de kiel la aro de ebla (pozicioj, pozicias) kaj _momenta_. Ekzemple, ĉi tiu estas vojo al priskribi la faza spaco de pendolo. La (ŝtato, stato, stati) de la pendolo estas difinita per ĝia pozicio (angulo) kaj ĝia momanto (aŭ ekvivalente, ĝia rapido, ekde ĝia (maso, amaso) estas ne ŝanĝanta). La tuta (ŝtato, stato, stati) spaco (aspektas, aspektoj, rigardas) ŝati cilindro. La cilindro estas la kotangenta pakaĵo de la cirklo. La pli supre _symplectic_ konstruado, laŭ kun adekvata energia funkcio, donas plenumi konstato de la fiziko de sistemo. Vidi _Hamiltonian_ mekaniko por pli informo, kaj la artikolo sur geodezia fluo por eksplicita konstruado de la _Hamiltonian_ ekvacioj de moviĝo.

[redaktu] Vidu ankaŭ jenon:

Tangenta pakaĵo

[redaktu] Referencoj

_Jurgen_ _Jost_, Rimana Geometrio kaj Geometria Analitiko, (2002) _Springer_-_Verlag_, Berlino ISBN 3-540-4267-2.
_Ralph_ Abraham kaj _Jerrold_ E. _Marsden_, Fundamentoj de Mekaniko, (1978) Benjamen-_Cummings_, Londono ISBN 0-8053-0102-X.
_Stephanie_ _Frank_ Kantisto, Simetrio en Mekaniko: A Dolĉa Moderna Enkonduko, (2001) _Birkhauser_, _Boston_.

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Kotangenta_paka%C4%B5o_2ed0.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Fibraj pakaĵoj | Diferenciala topologio