Vikipedio:Projekto matematiko/Koneksa spaco

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Koneksa spaco
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

Koneksa kaj malkonektita (subspacoj, subspacas) de R². La spaco A je supro estas koneksa; la alozis spaco B je fundo estas ne.

En topologio kaj rilatanta (branĉoj, aloj) de matematiko, koneksa spaco estas topologia spaco kiu ne povas esti skribita kiel la disa unio de du aŭ pli nemalplena (spacoj, kosmoj, spacetoj). Konekteco estas unu de la ĉefa topologia propraĵa tio estas kutima (distingi, diferencigi) topologiaj spacoj. pli forta nocio estas (tiu, ke, kiu) de vojkoneksa spaco, kiu estas spaco kie (ĉiu, iu) du punktoj povas esti (aniĝita, aligita, aliĝita) per vojo.

Ĝi estas kutime facila al pripensi kio estas ne koneksa. Simpla ekzemplo devus esti spaco konsistanta de du ortanguloj, ĉiu kies estas spaco kaj ne aligis al la alia. La spaco estas ne koneksa ekde du ortanguloj estas disa. Alia bona ekzemplo estas spaco kun _annulus_ forprenita. La spaco estas ne koneksa ekde vi ne povas trakonekti du punktoj, unu ene la _annulus_ kaj la alia ekster; de ĉi tie la (termo, membro, flanko, termino) "trakonekti".

Ankaŭ, en (senso, senco), koneksa spaco estas ĝeneraligo de intervalo sur la reela nombra linio, (justa, ĵus) kiel topologia spaco estas, por tiel diri, provi al ĝeneraligi intervalo.

[redaktu] Formala difino

Topologia spaco X estas dirita al esti malkonektita se ĝi estas la unio de du disaj nemalplenaj malfermitaj aroj. Alie, X estas dirita al esti koneksa. Subaro de topologia spaco estas dirita al esti koneksa se ĝi estas koneksa sub ĝia subspaca topologio. Iu (aŭtoroj, aŭtoras) aparte ekskludi la malplena aro kun ĝia unika topologio kiel koneksa spaco, sed ĉi tiu enciklopedio ne sekvi (tiu, ke, kiu) praktiko.

Por topologia spaco X jenaj kondiĉoj estas ekvivalento:

X estas koneksa.
X ne povas esti (dividita, dividis) enen du disaj nemalplenaj fermitaj aroj (Ĉi tiu sekvas ekde la komplemento de malfermita aro estas (fermita, fermis)).
La nur aroj kiu estas ambaŭ (malfermi, malfermita) kaj (fermita, fermis) (_clopen_ aroj) estas X kaj la malplena aro.
La nur aroj kun malplena rando estas X kaj la malplena aro.
X ne povas esti skribita kiel la unio de du nemalplenaj apartigitaj aroj.

La maksimuma nemalplena koneksa (subaroj, subaras) de (ĉiu, iu) topologia spaco estas (nomita, vokis) la koneksaj komponantoj de la spaco. La (komponantoj, komponantas) (formo, formi) subdisko de la spaco (tio estas, ili estas disa kaj ilia unio estas la tuta spaco). Ĉiu komponanto estas (fermita, fermis) subaro de la originala spaco. La (komponantoj, komponantas) en ĝenerala (bezoni, bezono, necesa) ne esti (malfermi, malfermita): la (komponantoj, komponantas) de la racionalaj nombroj, ekzemple, estas la unu-punktaj aroj. Spaco en kiu ĉiuj (komponantoj, komponantas) estas unu-punktaj aroj estas (nomita, vokis) tutece malkonektita. Rilatanta al ĉi tiu propraĵo, spaco X estas (nomita, vokis) tutece apartigita se, por (ĉiu, iu) du eroj x kaj y de X, tie ekzisti disa (malfermi, malfermita) najbaraĵoj U de x kaj V de y tia (tiu, ke, kiu) X estas la unio de U kaj V. Klare (ĉiu, iu) tutece apartigita spaco estas tutece malkonektita, sed la konversacii ne teni. Ekzemple preni du (kopioj, kopias) de la racionalaj nombroj Q, kaj identigi ilin je ĉiu punkto escepti nulo. La rezultanta spaco, kun la kvocienta topologio, estas tutece malkonektita. Tamen, per konsideranta la du (kopioj, kopias) de nulo, la spaco estas ne tutece apartigita, aŭ (ebena, para, eĉ) Hausdorff-a.

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

La segmento [0, 2] estas koneksa; ĝi povas, ekzemple, esti skribita kiel la unio de [0, 1) kaj [1, 2], sed la (sekundo, dua) aro estas ne (malfermi, malfermita) en la topologio de [0, 2]. Aliflanke, la unio de [0, 1) kaj (1, 2] estas malkonektita; ambaŭ de ĉi tiuj (intervaloj, intervalas) estas (malfermi, malfermita) en la topologia spaco [0, 1)∪(1, 2].
A konveksa aro estas koneksa; ĝi estas reale simple koneksa.
An Eŭklida ebeno ekskludanta la fonto, (0, 0), estas koneksa, sed estas ne simple koneksa. La tri-dimensia Eŭklida spaco sen la fonto estas koneksa, kaj (ebena, para, eĉ) simple koneksa. En kontrasto, la unu-dimensia Eŭklida spaco sen la fonto estas ne koneksa.
La spaco de reelaj nombroj kun la kutima topologio estas koneksa.
Ĉiu diskreta topologia spaco estas malkonektita, fakte tia spaco estas tutece malkonektita.
La Aro de Kantor estas tutece malkonektita; ekde la aro enhavas nekalkuleblaj multaj punktoj, ĝi havas nekalkulebla multaj (komponantoj, komponantas).
Se spaco X estas homotopa al koneksa spaco, tiam X estas sin koneksa.

[redaktu] Voja konekteco

Ĉi tiu subspaco de R² estas vojkoneksa, ĉar vojo povas esti desegnita inter (ĉiu, iu) du punktoj en la spaco.

La spaco X estas dirita al esti vojkoneksa se por (ĉiu, iu) du punktoj x kaj y en X tie ekzistas kontinua funkcio f de la unuobla intervalo [0,1] al X kun f(0) = x kaj f(1) = y. (Ĉi tiu funkcio estas (nomita, vokis) vojo de x al y.)

Ĉiu vojkoneksa spaco estas koneksa. Ekzemplo de koneksaj spacoj (tiu, ke, kiu) estas ne vojkoneksa inkluzivi la etendis longa linio L* kaj la topologiista sinusa kurbo.

Tamen, (subaroj, subaras) de la reala linio R estas koneksa se kaj nur se ili estas vojkoneksa; ĉi tiuj (subaroj, subaras) estas la (intervaloj, intervalas) de R. Ankaŭ, (malfermi, malfermita) (subaroj, subaras) de Rⁿ aŭ Cⁿ estas koneksa se kaj nur se ili estas vojkoneksa. (Cetere, Aldone), konekteco kaj vojo-konekteco estas la sama por finiaj topologiaj spacoj.

Spaco X estas dirita al esti arko-koneksa se (ĉiu, iu) du klaraj punktoj povas esti (aniĝita, aligita, aliĝita) per arko, tio estas vojo f kiu estas homeomorfio inter la unuobla intervalo [0,1] kaj ĝia bildo f([0,1]). Ĝi povas esti montrita (ĉiu, iu) (Hausdorff-a spaco, Spaco de Hausdorff) kiu estas vojkoneksa estas ankaŭ arko-koneksa. Ekzemplo de spaco kiu estas vojkoneksa sed ne arko-koneksa estas provizita per adicianta (sekundo, dua) (kopio, kopii) 0' de 0 al la nenegativaj reelaj nombroj [0,∞). Unu dotas ĉi tiu aro kun parta ordo per preciziganta (tiu, ke, kiu) 0'&_lt_;a por (ĉiu, iu) pozitiva nombro a, sed lasanta 0 kaj 0' _incomparable_. Unu tiam dotas ĉi tiu aro kun la (mendi, ordo) topologio, tio estas unu prenas la (malfermi, malfermita) (intervaloj, intervalas) (a,b)={x | a<x<b} kaj la duono-(malfermi, malfermita) (intervaloj, intervalas) [0,a)={x | 0≤x<a}, [0',a)={x | 0'&_le_;x<a} kiel bazo por la topologio. La rezultanta spaco estas T₁ spaco sed ne (Hausdorff-a spaco, Spaco de Hausdorff). Klare 0 kaj 0' povas esti koneksa per vojo sed ne per arko en ĉi tiu spaco.

[redaktu] Loka konekteco

Topologia spaco estas dirita al esti loke koneksa se ĝi havas bazo de koneksaj aroj. Ĝi povas esti montrita (tiu, ke, kiu) spaco X estas loke koneksa se kaj nur se ĉiu komponanto de ĉiu malfermita aro de X estas (malfermi, malfermita). La topologiista sinusa kurbo estas ekzemplo de koneksa spaca tio estas ne loke koneksa.

Simile, topologia spaco estas dirita al esti loke vojkoneksa se ĝi havas bazo de vojkoneksaj aroj. (Malfermi, Malfermita) subaro de loke vojkoneksa spaco estas koneksa se kaj nur se ĝi estas vojkoneksa. Ĉi tiu ĝeneraligas la pli frua (propozicio, frazo, ordono) pri Rⁿ kaj Cⁿ, ĉiu kies estas loke vojkoneksa. Pli ĝenerale, (ĉiu, iu) topologia dukto estas loke vojkoneksa.

[redaktu] (Teoremoj, Teoremas)

Ĉefa teoremo: Estu X kaj Y esti topologiaj spacoj kaj estu f : X → Y esti kontinua funkcio. Se X estas koneksa (_resp_. vojkoneksa) tiam la bildo f(X) estas koneksa (_resp_. vojkoneksa). La intera valora teoremo povas esti konsiderata kiel speciala okazo de ĉi tiu rezulto.
Se $\{A_1, A_2,\ldots\}$ estas familio de koneksa (subaroj, subaras) de topologia spaco X tia (tiu, ke, kiu) $A_i \cap A_{i+1}$ estas nemalplena por ĉiuj mi, tiam $\cup A_i$ estas ankaŭ koneksa.
Se ${A α}$ estas nemalplena familio de koneksa (subaroj, subaras) de topologia spaco X tia (tiu, ke, kiu) $\cap A_\alpha$ estas nemalplena, tiam $\cup A_\alpha$ estas ankaŭ koneksa.
Ĉiu vojkoneksa spaco estas koneksa.
Ĉiu loke vojkoneksa spaco estas loke koneksa.
Loke vojkoneksa spaco estas vojkoneksa se kaj nur se ĝi estas koneksa.
La koneksaj komponantoj de spaco estas disaj unioj de la vojkoneksa (komponantoj, komponantas).
La (komponantoj, komponantas) de loke koneksa spaco estas (malfermi, malfermita) (kaj (fermita, fermis)).
La (fermaĵo, adheraĵo) de koneksa subaro estas koneksa.
Ĉiu kvociento de koneksa (_resp_. vojkoneksa) spaco estas koneksa (_resp_. vojkoneksa).
Ĉiu (produkto, produto) de familio de koneksa (_resp_. vojkoneksa) (spacoj, kosmoj, spacetoj) estas koneksa (_resp_. vojkoneksa).
Ĉiu (malfermi, malfermita) subaro de loke koneksa (_resp_. loke vojkoneksa) spaco estas loke koneksa (_resp_. loke vojkoneksa).
Ĉiu (dukto (matematiko), dukto) estas loke vojkoneksa.