Vikipedio:Projekto matematiko/Filtrilo (matematiko)

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Filtrilo (matematiko)
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, filtrilo estas speciala subaro de parte orda aro. Ofte uzita speciala okazo estas la situacio (tiu, ke, kiu) la orda aro sub konsidero estas (justa, ĵus) la aro de ĉiuj subaroj de iu aro, (mendita, ordita) per ara inkluziveco. (Filtriloj, Filtras) aperi en ordo kaj krada teorio, sed povas ankaŭ troviĝi en topologio de kie ili deveni. La duala nocio de filtrilo estas idealo.

(Filtriloj, Filtras) estita prezentita per _Henri_ _Cartan_ en 1937 kaj sinsekve uzita per _Bourbaki_ en ilia libro Topologia _Générale_. Ekvivalenta nocio (nomita, vokis) (reto, neta) estis ellaborita en 1922 per E. H. _Moore_ kaj H. L. Forĝisto.

[redaktu] Ĝenerala difino

Ne-malplena subaro F de parte orda aro (P,≤) estas filtrilo, se jenaj kondiĉoj teni:

Por ĉiu x, y en F, estas iu ero z en F, tia (tiu, ke, kiu) z &_le_; x kaj z &_le_; y. (F estas filtrila bazo)
Por ĉiu x en F kaj y en P, x &_le_; y (implicas, enhavas) (tiu, ke, kiu) y estas en F. (F estas supra aro)

Filtrilo estas pozitiva se ĝi estas ne egala al la tuta aro P.

Dum la pli supre difino estas la plej ĝenerala vojo al difini filtrilo por ajna parte ordaj aroj, ĝi estis originale difinita por (kradoj, kradas, latisoj, latisas) nur. En ĉi tiu (kesto, okazo), la pli supre difino povas esti karakterizita per jena ekvivalento (propozicio, frazo, ordono): Ne-malplena subaro F de krado (P,≤) estas filtrilo, se kaj nur se ĝi estas supra ara tio estas (fermita, fermis) sub finia verigas (_infima_), kio estas, por ĉiuj x, y en F, ni trovi (tiu, ke, kiu) x ∧ y estas ankaŭ en F.

La (plej minuskla, plej malgranda) filtrilo (tiu, ke, kiu) enhavas donita ero p estas ĉefa filtrilo kaj p estas ĉefa ero en ĉi tiu situacio. La ĉefa filtrilo por p estas (justa, ĵus) donita per la aro {x en P | p &_le_; x} kaj estas signifita per prefiksanta p kun _upward_ sago.

La duala nocio de filtrilo, kio estas la koncepto ricevis per dorsflankanta ĉiuj ≤ kaj interŝanĝanta ∧ kun ∨, estas idealo. Pro ĉi tiu duvarianteco, la diskuto de (filtriloj, filtras) kutime (bolas, karbunkloj, karbunklas) suben al la diskuto de (idealoj, idealas). De ĉi tie, plej aldona informo sur ĉi tiu aktualaĵo (inkluzivanta la difino de maksimuma (filtriloj, filtras) kaj primo (filtriloj, filtras)) estas al troviĝi en la artikolo sur (idealoj, idealas). Estas apartigi artikolo sur _ultrafilters_.

[redaktu] Filtrilo sur aro

Speciala okazo de filtrilo estas filtrilo difinis sur aro. Donita aro S, parta (ordenanta, mendanta, ordanta, dimensianta, komandanta, ordigo) ⊆ povas esti difinita sur la potencaro P(S) per subara inkluziveco, (kurbiĝanta, turnanta, tornanta, kurbiganta) (P(S),⊆) enen krado. filtrilo F sur S estas tiam subaro de P(S) kun jenaj propraĵoj:

S estas en F. (F estas ne-malplena)
La malplena aro estas ne en F. (F estas pozitiva)
Se A kaj B estas en F, tiam (do, tiel) estas ilia komunaĵo. (F estas (fermita, fermis) sub finia (aniĝas, aligas, aliĝas))
Se A estas en F kaj A estas subaro de B, tiam B estas en F, por ĉiuj (subaroj, subaras) B de S. (F estas supra aro)

La unua tri propraĵoj enhavi (tiu, ke, kiu) filtrilo havas la finia komunaĵa propraĵo.

filtrila bazo estas subaro B de P(S) kun jenaj propraĵoj

La komunaĵo de (ĉiu, iu) du aroj de B enhavas aro de B
B estas ne-malplena kaj la malplena aro estas ne en B

Filtrila bazo B povas esti (turnita, turnis) enen filtrilo per inkluzivantaj ĉiuj aroj de P(S) kiu enhavi aro de B.

Donita subaro T de P(S) ni povas (demandi, peti) ĉu tie ekzistas (plej minuskla, plej malgranda) filtrilo F enhavanta T. Tia filtrilo ekzistas se kaj nur se la finia komunaĵo de (subaroj, subaras) de T estas ne-malplena. Ni (voko, voki) T _subbase_ de F kaj diri F estas generita per T. F povas esti konstruita per prenante ĉiuj finia (komunaĵoj, komunaĵas, intersekcoj, intersekcas) de T kiu estas tiam filtrila bazo por F.

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

A simpla ekzemplo de filtrilo estas la aro de ĉiuj subaroj de S (tiu, ke, kiu) inkluzivi aparta subaro C de S. Tia filtrilo estas (nomita, vokis) la ĉefa filtrilo generita per C.

La Filtrilo de Fréchet sur malfinia aro S estas la aro de ĉiuj subaroj de S (tiu, ke, kiu) havi finia komplemento.

A uniforma strukturo sur aro X estas filtrilo sur X×X.

A filtrilo en parte orda aro povas kreiĝi uzanta la konata _Rasiowa_-Sikorski-a lemo, ofte uzita en fortanta.

[redaktu] (Filtriloj, Filtras) en modela teorio

Por (ĉiu, iu) filtrilo F sur aro S, la ara funkcio difinis per

$m(A)=\left\{ \begin{matrix} \,1 & \mbox{if }A\in F \\ \,0 & \mbox{if }S\setminus A\in F \\ \,\mbox{undefined} & \mbox{otherwise} \end{matrix} \right.$

estas finie alsuma -- "mezuri" se (tiu, ke, kiu) (termo, membro, flanko, termino) estas _construed_ iom lakse. Pro tio la (propozicio, frazo, ordono)

$\left\{\,x\in S: \varphi(x)\,\right\}\in F$

povas esti konsiderata io analoga al la (propozicio, frazo, ordono) (tiu, ke, kiu) φ tenas "preskaŭ ĉie". (Tiu, Ke, Kiu) interpretado de anaro en filtrilo estas uzita (por motivado, kvankam ĝi estas ne (bezonata, bezonis) por reala pruvoj) en la teorio de _ultraproducts_ en modela teorio, branĉo de matematika logiko.

[redaktu] (Filtriloj, Filtras) en topologio

En topologio kaj analitiko, (filtriloj, filtras) estas uzitaj al difini konverĝo en maniero simila al la rolo de (vicoj, vicas) en metrika spaco.

Donita punkto x la aro de ĉiuj najbaraĵoj de x estas filtrilo, $N x$ . (pozitiva) filtrilo kiu estas superaro de $N x$ estas dirita al konverĝi al x, skribita $F \to x$ . (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) se $F \to x$ kaj $F \subseteq G$ tiam $G \to x$ .

Donita filtrilo F sur aro X kaj funkcio $f : X \to Y$ , la aro $\{ f(A) : A \in F \}$ (formoj, formas) filtrila bazo por filtrilo kiu, en _slight_ malbona skribmaniero, ni signifi per $f (F)$ .

Jenaj utilaj rezultoj teni:

X estas Hausdorff-a spaco se kaj nur se ĉiu filtrilo sur X havas maksimume unu limigo (kio estas, konverĝas al maksimume unu punkto x).
f estas kontinua je x se kaj nur se $F \to x$ (implicas, enhavas) $f(F) \to f(x)$
X estas kompakta se kaj nur se ĉiu filtrilo sur X estas subaro de konverĝa filtrilo.
X estas kompakta se kaj nur se ĉiu _ultrafilter_ sur X konverĝas.

La najbareca sistemo por ne malplena aro A estas filtrilo (nomita, vokis) la najbaraĵa filtrilo por A.

[redaktu] (Filtriloj, Filtras) en uniformaj spacoj

Donita uniforma spaco X, filtrilo F sur X estas (nomita, vokis) Koŝia filtrilo se por ĉiu U en la akompanantaro, estas $A \in F$ kun $(x, y) \in U$ por ĉiu $x, y \in A$ . En metrika spaco ĉi tiu prenas la (formo, formi) F estas Koŝio se por ĉiu $\epsilon > 0 \ \ \exists A \in F \ \ \mathrm{diam}(A) < \epsilon$ . X estas dirita al esti plenumi se ĉiu Koŝia filtrilo konverĝas.

Estu $F \subseteq G , \ \ G \to x, \ F$ Koŝio. Tiam $F \to x$ . Tial ĉiu kompakta samformeco estas plenumi. Plui, samformeco estas kompakta se kaj nur se ĝi estas plenumi kaj tutece barita.

[redaktu] Vidi ankaŭ

Filtro (abstrakta algebro)
Idealo ((mendi, ordo) teorio)

[redaktu] Referencoj

_Cartan_, H. (1937) "_Thèorie_ _des_ _filtres_". Cr _Acad_. Parizo, 205, 595–598.
_Cartan_, H. (1937) "_Filtres_ _et_ _ultrafiltres_" Cr _Acad_. Parizo, 205, 777–779