Vikipedio:Projekto matematiko/Diagonala argumento de Cantor

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Diagonala argumento de Cantor
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

(Tononomo, Noto, Noti): por ke plene kompreni ĉi tiu artikolo vi (majo, povas) bezono al referi al la aroteoria porcio de la tabelo de matematikaj simboloj.

Diagonala argumento de Cantor estas pruvo _devised_ per Georg Cantor al demonstracii (tiu, ke, kiu) la reelaj nombroj estas ne kalkuleble malfinio. (Ĝi estas ankaŭ (nomita, vokis) la diagonaliga argumento aŭ la diagonala oblikva argumento aŭ la diagonala maniero.)

La diagonala argumento estis ne Cantor-a's unua pruvo de la nekalkulebleco de la reelaj nombroj, sed estis (publikigita, publikigis) tri (jaroj, jaras) post lia unua pruvo. Lia originala argumento farita ne mencii dekuma (elvolvaĵoj, elvolvaĵas), nek (ĉiu, iu) alia numeralo.

Ekde ĉi tiu tekniko estis unua uzita, similaj pruvaj konstruoj havi estas uzita multaj (tempoj, tempas) en larĝa limigo de pruvoj. Ĉi tiuj estas ankaŭ sciata kiel diagonalo (argumentoj, argumentas) analoge la argumento uzita en ĉi tiu pruvo.

Enhavo

1 Reelaj nombroj
2 Kial ĉi tiu ne laboro sur (entjeroj, entjeras)
3 Ĝeneralaj aroj
4 Ekstera (ligoj, ligas)

[redaktu] Reelaj nombroj

Cantor-a's originala pruvo montras (tiu, ke, kiu) la intervalo [0,1] estas ne kalkuleble malfinio.

La pruvo per kontraŭdiro procedas kiel sekvas:

Alpreni (por la sakeo de argumento) (tiu, ke, kiu) la intervalo [0,1] estas kalkuleble malfinio.
Ni (majo, povas) tiam _enumerate_ ĉiuj nombroj en ĉi tiu intervalo kiel vico, ( r₁, r₂, r₃, ... )
Ni jam scii (tiu, ke, kiu) ĉiu de ĉi tiuj nombroj (majo, povas) esti (prezentita, prezentis) kiel dekuma elvolvaĵo.
Ni aranĝi la nombroj en listo (ili ne (bezoni, bezono, necesa) al furori (mendi, ordo); fakte, iuj numereblaj aroj, kiel la racionalaj nombroj, ne povas ĉiuj esti listita en ilia natura (mendi, ordo), sed povas _nonetheless_ esti listita). Ĉe nombroj kun du dekuma (elvolvaĵoj, elvolvaĵas), ŝati 0.499 ... = 0.500 ..., ni (preno, preni) la unu (randanta, finanta) en _nines_. Alpreni, ekzemple, (tiu, ke, kiu) la dekuma (elvolvaĵoj, elvolvaĵas) de la (komenco, komencanta) de la vico estas kiel sekvas:

r₁ = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...

r₂ = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...

r₃ = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...

r₄ = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...

r₅ = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...

r₆ = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...

r₇ = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ...

...
Ni estos nun konstrui reela nombro x en [0,1] per konsideranta la k^{(th, -a)} cifero post la dekuma punkto de la dekuma elvolvaĵo de r_k. La (ciferoj, ciferas) ni estos konsideri estas substrekita kaj en kuraĝa (vizaĝo, edro), ilustranta kial ĉi tiu estas (nomita, vokis) la diagonala pruvo.

r₁ = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...

r₂ = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...

r₃ = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...

r₄ = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...

r₅ = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...

r₆ = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...

r₇ = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ...

...
De ĉi tiuj (ciferoj, ciferas) ni difini la (ciferoj, ciferas) de x kiel sekvas.
- se la k^{(th, -a)} cifero de r_k estas 5 tiam la k^{(th, -a)} cifero de x estas 4
- se la k^{(th, -a)} cifero de r_k estas ne 5 tiam la k^{(th, -a)} cifero de x estas 5
La nombro x estas klare reela nombro (ekde ĉiuj dekuma (elvolvaĵoj, elvolvaĵas) prezenti reelaj nombroj) en [0,1]. Por la pli supre vico, ekzemple, ni ricevi jena dekuma elvolvaĵo:

x = 0 . 4 5 5 5 5 5 4 ...
De ĉi tie ni devas havi r_n = x por iu n, ekde ni havi alprenita (tiu, ke, kiu) ( r₁, r₂, r₃, ... ) _enumerates_ ĉiuj reelaj nombroj en [0, 1].
Tamen, pro la vojo ni havi elektita 4's kaj 5's kiel (ciferoj, ciferas) en (ŝtupo, paŝi) (6), x diferencas en la n^{(th, -a)} dekuma loko de r_n, (do, tiel) x estas ne en la vico ( r₁, r₂, r₃, ... ).
Ĉi tiu vico estas pro tio ne numerado de la aro de ĉiuj reelaj nombroj en la intervalo [0,1]. Ĉi tiu estas kontraŭdiro.
De ĉi tie la (premiso, supozo) (1) (tiu, ke, kiu) la intervalo [0,1] estas kalkuleble malfinio devas esti malvera.

Ĝi estas direkta korolario de ĉi tiu rezulto (tiu, ke, kiu) la aro R de ĉiuj reelaj nombroj estas nekalkulebla. Se R estis numerebla, ni povita _enumerate_ ĉiuj de la reelaj nombroj en vico, kaj tiam preni vica numerigo [0,1] per forprenanta ĉiuj de la reelaj nombroj ekster ĉi tiu intervalo. Sed ni havi (justa, ĵus) montrita (tiu, ke, kiu) ĉi tiu lasta listo ne povas ekzisti. Alternative, ni povita montri (tiu, ke, kiu) [0,1] kaj R estas la sama amplekso per konstruanta reciproke unuvalora surĵeto inter ilin. Ĉi tiu estas malmulte malgracia al fari, kvankam ebla, por la segmento [0,1]; por la (malfermi, malfermita) intervalo (0,1) ni povus uzi $f\colon (0,1)\rightarrow\mathbb{R}$ difinita per $f(x) = \tan\left(\pi\left(x-\frac{1}{2}\right)\right)$ .

[redaktu] Kial ĉi tiu ne laboro sur (entjeroj, entjeras)

Popolo iam (opinii, pensi) (tiu, ke, kiu) la pli supre pruvo povas esti adaptita al la (entjeroj, entjeras) al montri (tiu, ke, kiu) ili ankaŭ estas nekalkulebla. Unu povus provi al fari ĉi tiu per gutanta la dekuma punkto en la (elvolvaĵoj, elvolvaĵas) pli supre. La (ĝeni, ĝen(aĵ)o) estas (tiu, ke, kiu) malfinia vico de ne-nulo (ciferoj, ciferas) ne prezenti entjero. Ĉi tiu estas la kaŭzo por (ŝtupo, paŝi) (7) pli supre.

[redaktu] Ĝeneralaj aroj

Ĝeneraligita (formo, formi) de la diagonala argumento estis uzita per Cantor-a al pruvi Teoremo de Cantor: por ĉiu aro S la aro de ĉiuj subaroj de S, kio estas, la aro de ĉiuj subaroj de S (ĉi tie skribita kiel P(S)), estas pli granda ol S sin. Ĉi tiu pruvo procedas kiel sekvas:

Estu f esti (ĉiu, iu) (bijekcia, dissurĵeta) funkcio de S al P(S). Ĝi sufiĉas al pruvi f ne povas esti (surjekcia, surĵeta). (Tiu, Ke, Kiu) (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) iu membro de P(S), kio estas, iu subaro de S, estas ne en la bildo de f. (Tiu, Ke, Kiu) aro estas

$T=\{\,s\in S: s\not\in f(s)\,\}.$

Se T estas en la limigo de f, tiam por iu t en S ni havi T = f(t). Ĉu t estas en T ĉu ne. Se t estas en T, tiam t estas en f(t), sed, per difino de T, (tiu, ke, kiu) (implicas, enhavas) t estas ne en T. Aliflanke, se t estas ne en T, tiam t estas ne en f(t), kaj per difino de T, (tiu, ke, kiu) (implicas, enhavas) t estas en T. Ĉu vojo, ni havi kontraŭdiro.

(Tononomo, Noto, Noti) la simileco inter la konstruado de T kaj la eki Paradokso de Russell. Ĝia rezulto povas kutimi montri (tiu, ke, kiu) la nocio de la aro de ĉiuj aroj estas nekonsekvenca nocio en normala ara teorio; se S devus esti la aro de ĉiuj aroj tiam P(S) devus samtempe esti pli granda ol S kaj subaro de S.

La pli supre pruvo mankas por W. V. Sinskriba programa "Novaj Fundamentoj" aroteorio, kiu havas malsama versio de la aksiomo de kompreno en kiu $\{s \in S: s\not\in f(s)\,\}$ ne povas en ĝenerala esti montrita al ekzisti. $\{s \in S: s\not\in f(\{s\})\,\}$ (kie $P 1 (S)$ estas la aro de unu-ero (subaroj, subaras) de S kaj f estas supozita al esti reciproke unuvalora surĵeto de $P 1 (S)$ al P(S)) <forta>povas</forta> esti montrita al ekzisti en Novaj Fundamentoj, (do, tiel) la teoremo unu estas pova pruvi estas (tiu, ke, kiu) $| P 1 (S) | < | P (S) |$ : se $f ({r})$ estita egala al la aro pli supre (kiu devas esti vera por iu $r \in S$ se f estas mapo sur P(S)), tiam $r \in f(\{r\})$ devus enhavi kaj esti enhavita per ĝia posedi nego.

Por pli (betono, konkreta) (konto, kalkulo) de ĉi tiu pruva tio estas eble pli simpla al kompreni vidi Teoremo de Cantor.

_Analogues_ de la diagonala argumento estas larĝe uzita en matematiko al pruvi la ekzisto aŭ _nonexistence_ de certa (objektoj, objektas). Ekzemple, la kutima pruvo de la _unsolvability_ de la problemo de haltado estas esence diagonala argumento.

La diagonala argumento montras (tiu, ke, kiu) la aro de reelaj nombroj estas "pli granda" ol la aro de (entjeroj, entjeras). Pro tio, ni povas (demandi, peti) se estas aro kies kardinalo estas "inter" (tiu, ke, kiu) de la (entjeroj, entjeras) kaj (tiu, ke, kiu) de la reelaj nombroj. Ĉi tiu demando (plumboj, plumbas, kondukas) al la fama kontinuaĵa hipotezo. Simile, la demando de ĉu tie ekzistas aro kies kardinalo estas inter s kaj P(s) por iu s, (plumboj, plumbas, kondukas) al la ĝeneraligis kontinuaĵa hipotezo.