Vikipedio:Projekto matematiko/Banaĥa algebro

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Banaĥa algebro
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, aparte funkcionala analitiko, Banaĥa algebro, nomis post _Stefan_ Banaĥo, estas asocieca algebro A super la (reala, reela) aŭ kompleksaj nombroj kiu samtempe estas ankaŭ Banaĥa spaco. La algebra multipliko kaj la Banaĥa spaca normo estas postulita al esti rilatanta per jena neegalaĵo:

$\forall x, y \in A , \|x \, y\| \ \leq \|x \| \, \| y\|$

(kio estas, la normo de la (produkto, produto) estas malpli ol aŭ egala al la (produkto, produto) de la (normoj, normas).) Ĉi tiu certiĝas (tiu, ke, kiu) la multiplika operacio estas kontinua.

Banaĥa algebro estas (nomita, vokis) "_unital_" se ĝi havas identa ero por la multipliko kies normo estas 1, kaj "komuta" se ĝia multipliko estas komuta.

Banaĥaj algebroj povas ankaŭ esti difinita super kampoj de p-_adic_ nombroj. Ĉi tiu estas parto de p-_adic_ analitiko.

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

La aro de (reala, reela) (aŭ komplekso) nombroj estas Banaĥa algebro kun normo donita per la absoluta valoro.
La aro de ĉiuj (reala, reela) aŭ komplekso n-per-n matricoj iĝas _unital_ Banaĥa algebro se ni (ekipi, armi) ĝi kun sub-multiplika matrica normo.
Preni la Banaĥa spaco Rⁿ (aŭ Cⁿ) kun normo ||x|| = maksimuma |x_mi| kaj difini multipliko _componentwise_: (x₁,...,x_n)(y₁,...,y_n) = (x₁y₁,...,x_ny_n).
La _quaternions_ (formo, formi) 4-dimensia (reala, reela) Banaĥa algebro, kun la normo estante donita per la absoluta valoro de _quaternions_.
La algebro de ĉiuj barita (reala, reela)- aŭ komplekso-valoraj funkcioj difinis sur iu aro (kun punktlarĝa multipliko kaj la preciza supra randa normo) estas _unital_ Banaĥa algebro.
La algebro de ĉiuj barita kontinua (reala, reela)- aŭ komplekso-valoraj funkcioj sur iu loke kompakta spaco (denove kun punktlarĝa (operacioj, operacias) kaj preciza supra randa normo) estas Banaĥa algebro. La algebro estas _unital_ se kaj nur se la originala spaco estas kompakta. Ankaŭ, ekde ĉiu kontinua funkcio sur kompakta spaco estas aŭtomate barita, ni ne (bezoni, bezono, necesa) al alpreni la nelimigiteco de la funkcioj en ĉi tiu (kesto, okazo).
(Ĉiu, Iu) C*-algebro estas Banaĥa algebro.
La algebro de ĉiuj kontinuaj linearaj operatoroj sur Banaĥa spaco E (kun (funkcionalo, funkcia) komponaĵo kiel multipliko kaj la operatora normo kiel normo) estas _unital_ Banaĥa algebro. La aro de ĉiuj kompaktaj operatoroj sur E estas (fermita, fermis) idealo en ĉi tiu algebro.
La kontinuaj linearaj operatoroj sur Hilberta spaco (formo, formi) C-stelo-algebro kaj pro tia Banaĥa algebro.
Se G estas loke kompakta Hausdorff-a topologia grupo kaj μ ĝia Mezuro de Haar, tiam la Banaĥa spaco L¹(G) de ĉiuj μ-integraleblaj funkcioj sur G iĝas Banaĥa algebro sub la rulumo _xy_(g) = ∫ x(h) y(h^-1g) dμ(h) por x, y en L¹(G).

[redaktu] Propraĵoj

Kelkaj elementaj funkcioj kiu estas difinita tra potencoserio (majo, povas) esti difinita en (ĉiu, iu) _unital_ Banaĥa algebro; (ekzemploj, ekzemplas) inkluzivi la eksponenta funkcio kaj la trigonometriaj funkcioj. La formulo por la geometria serio kaj la duterma teoremo ankaŭ resti valida en ĝenerala _unital_ Banaĥaj algebroj.

La aro de inversigeblaj eroj en (ĉiu, iu) _unital_ Banaĥa algebro estas malfermita aro, kaj la inversiga operacio sur ĉi tiu aro estas kontinua, tiel ke ĝi (formoj, formas) topologia grupo sub multipliko.

_Unital_ Banaĥaj algebroj provizi natura opcio al studi ĝenerala spektra teorio. La spektro de ero x konsistas de ĉiuj tiuj (skalaroj, skalaras) λ tia (tiu, ke, kiu) x -λ1 estas ne inversigebla. (En la Banaĥa algebro de ĉiuj n-per-n matricoj menciis pli supre, la spektro de matrico koincidas kun la aro de ĉiuj ĝia (ajgenoj, ajgenas).) La spektro de (ĉiu, iu) ero estas kompakta. Se la baza kampo estas la kampo de kompleksaj nombroj, tiam la spektro de (ĉiu, iu) ero estas ne-malplena.

La diversaj (algebroj, algebras) de funkcioj donita en la (ekzemploj, ekzemplas) pli supre havi tre malsamaj propraĵoj de normo (ekzemploj, ekzemplas) de (algebroj, algebras) kiel la reelaj nombroj. Ekzemple:

Ĉiu (reala, reela) Banaĥa algebro kiu estas divida algebro estas izomorfia al la reelaj nombroj, la kompleksoj, aŭ la _quaternions_.
Ĉiu _unital_ (reala, reela) Banaĥa algebro sen nuldivizoroj, kaj en kiu ĉiu ĉefideala estas (fermita, fermis), estas izomorfia al la reelaj nombroj, la kompleksoj, aŭ la _quaternions_.
Ĉiu komuta (reala, reela) _unital_ _noetherian_ Banaĥa algebro sen nuldivizoroj estas izomorfia al la (reala, reela) aŭ kompleksaj nombroj.
Ĉiu komuta (reala, reela) _unital_ _noetherian_ Banaĥa algebro (eble havantaj nuldivizoroj) estas finidimensia.
Konstante singularaj eroj en Banaĥaj algebroj estas topologiaj divizoroj de nulo, kio estas konsideranta (vastigaĵoj, vastigaĵas) B de Banaĥaj algebroj A iuj eroj (tiu, ke, kiu) estas singularo en la donita algebro A havi inversa ero en Banaĥa algebra vastigaĵo B. Topologiaj divizoroj de nulo en A estas konstante singularo totale Banaĥa vastigaĵo B de A.