Vikipedio:Projekto matematiko/Alef-nombro

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Alef-nombro
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

"Alef Unu" nomumas ĉi tie. Por Alef Unu kiel ĝi _pertains_ al la Maratona komputila ludo, vidi (tiu, ke, kiu) artikolo.

En la branĉo de matematiko sciata kiel aroteorio, la alef-nombroj estas serio de nombroj kutima prezenti la kardinalo (aŭ amplekso) de malfiniaj aroj. Ili estas nomita post la simbolo kutima signifi ilin, la Hebreo (letero, litero) alef ( $\aleph$ ).

La kardinalo de la naturaj nombroj estas alef-nula ( $\aleph_0$ ) (ankaŭ alef-nenio, alef-nul); la venonta pli granda kardinalo estas alef-unua $\aleph_1$ , tiam $\aleph_2$ kaj tiel plu. Daŭranta en ĉi tiu maniero, ĝi estas ebla al difini (kardinalo, povo) $\aleph_\alpha$ por ĉiu numero α, kiel estos esti priskribita pli sube.

La koncepto iras dorso al Georg Cantor, kiu difinis la nocio de kardinalo kaj komprenis (tiu, ke, kiu) malfiniaj aroj povas havi malsama (kardinaloj, kardinalas, povoj, povas).

La alef-nombroj diferenci de la malfinio (∞) kutime fundamenti en algebro kaj kalkulo. _Alephs_ mezuri la ampleksoj de aroj. Malfinio, aliflanke, povis malglate esti difinita kiel la ege limigo de la reela nombra linio. Dum iu _alephs_ estas pli granda ol aliaj, ∞ estas (justa, ĵus) ∞.

[redaktu] Alef-nula

Alef-nula ( $\aleph_0$ ) estas per difino la kardinalo de la aro de ĉiuj naturaj nombroj, kaj (alprenanta, kiel kutima, la aksiomo de elekto) estas la (plej minuskla, plej malgranda) de ĉiu malfinio (kardinaloj, kardinalas, povoj, povas). Aro havas kardinalo $\aleph_0$ se kaj nur se ĝi estas kalkuleble malfinio, kiu estas la (kesto, okazo) se kaj nur se ĝi povas esti meti enen direkto (bijekcia, dissurĵeta) rilato kun la (entjeroj, entjeras). Tiaj aroj inkluzivi la aro de ĉiuj primoj kaj la aro de ĉiuj racionalaj nombroj.

[redaktu] Alef-unua

$\aleph_1$ estas la kardinalo de la aro de ĉiuj kalkuleble malfiniaj numeroj, (nomita, vokis) ω₁ aŭ Ω. Ĉi tiu difino (implicas, enhavas) (jam en _ZF_, _Zermelo_-_Fraenkel_ aroteorio sen la aksiomo de elekto) (tiu, ke, kiu) ne (kardinalo, povo) estas inter $\aleph_0$ kaj $\aleph_1$ . Se la aksiomo de elekto (Ac) estas uzita, ĝi povas esti plui (pruvita, pruvis) (tiu, ke, kiu) la klaso de kardinaloj estas tutece (mendita, ordita), kaj tial $\aleph_1$ estas la (sekundo, dua)-(plej minuskla, plej malgranda) malfinio (kardinalo, povo). Uzanta Ac ni povas montri unu de la plej utilaj propraĵoj de la aro Ω (la norma ekzemplo de aro de amplekso $\aleph_1$ ): (ĉiu, iu) numerebla subaro de Ω havas supera baro (kun respekto al la norma bona ordo de ordaj numeraloj) en Ω (la pruvo estas facila: numerebla unio de numereblaj aroj estas numerebla; ĉi tiu estas unu de la plej komunaj aplikoj de Ac). Ĉi tiu fakto estas analoga al la situacio en $\aleph_0$ : (ĉiu, iu) finia aro de naturaj nombroj (subaro de ω) havas maksimumo kiu estas ankaŭ natura nombro (havas supera baro en ω) — finia (kunaĵoj, kunaĵas, unioj, unias) de finiaj aroj estas finia.

Ω estas reale utila koncepto, se io ekzotika-sonante. Ekzempla apliko estas "fermanta" kun respekto al numerebla (operacioj, operacias); e.g., (penanta, provanta, penante) al eksplicite priskribi la σ-algebro generita per ajna kolekto de (subaroj, subaras). Ĉi tiu estas (pli peza, pli peza) ol plej eksplicita (priskriboj, priskribas) de "generacio" en algebro (ekzemple vektoraj spacoj, (grupoj, grupas), kaj tiel plu) ĉar en tiuj (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) ni nur devi fermi kun respekto al finia (operacioj, operacias) — (sumoj, sumas), (produktoj, produktas, produktaĵoj, produktaĵas, produtoj, produtas), kaj la ŝati. La procezo engaĝas difinanta, por ĉiu numerebla orda numeralo, tra _transfinite_ indukto, aro per "ĵetanta en" ĉiuj ebla numerebla (kunaĵoj, kunaĵas, unioj, unias) kaj (komplementoj, komplementas), kaj prenante la unio de ĉiuj (tiu, ke, kiu) super ĉiuj de Ω.

[redaktu] La kontinuaĵa hipotezo

La kardinalo de la aro de reelaj nombroj estas $2^{\aleph_0}$ . Ĝi estas ne klara kie ĉi tiu nombro adaptas en la alef-nombra hierarkio. Ĝi sekvas de _ZFC_ (_Zermelo_-_Fraenkel_ aroteorio kun la aksiomo de elekto) (tiu, ke, kiu) la festis kontinuaĵa hipotezo, Ch, estas ekvivalento al la idento

$2^{\aleph_0}=\aleph_1.$

Ch estas sendependa de _ZFC_: ĝi povas esti neniu pruvita nek _disproven_ en la ĉirkaŭteksto de (tiu, ke, kiu) aksiomaro. (Tiu, Ke, Kiu) ĝi estas konsekvenca kun _ZFC_ estis demonstraciita per Kurt Gödel en 1940; (tiu, ke, kiu) ĝi estas sendependa de _ZFC_ estis demonstraciita per (Paŭlo, Bono) _Cohen_ en 1963.

[redaktu] Alef-ω

Kutime la (plej minuskla, plej malgranda) malfinia orda numeralo estas signifita ω, kaj la (kardinalo, povo) $\aleph_\omega$ estas la (plej minuskla, plej malgranda) supera baro de

$\left\{\,\aleph_n : n\in\left\{\,0,1,2,\dots\,\right\}\,\right\}.$

Alef-ω estas la unua nekalkulebla (kardinalo, povo) (tiu, ke, kiu) povas esti demonstraciita en _Zermelo_-_Fraenkel_ aroteorio ne al esti egala al la kardinalo de la aro de ĉiuj reelaj nombroj; por (ĉiu, iu) pozitiva entjero n ni povas konsekvence alpreni (tiu, ke, kiu) $2^{\aleph_0} = \aleph_n$ , kaj ankaŭ ĝi estas ebla al alpreni $2^{\aleph_0}$ estas kiel granda kiel ni ŝati. Ni estas nur fortis al eviti opcia ĝi al certa speciala (kardinaloj, kardinalas) kun _cofinality_ $\aleph_0$ , signifo estas nebarita funkcio de $\aleph_0$ al ĝi.

[redaktu] Alef-α por ĝenerala α

Al difini alef-α por ajna numero α, ni (bezoni, bezono, necesa) la postanta kardinala operacio, kiu asignas al (ĉiu, iu) (kardinalo, povo) ρ la venonta pli granda kardinalo $ρ +$ .

Ni povas tiam difini la alef-nombroj kiel sekvas

$\aleph_0 = \omega$

$\aleph_{\alpha+1} = \aleph_{\alpha}^+$

kaj por λ, malfinia limiga orda numeralo,

$\aleph_{\lambda} = \bigcup_{\beta < \lambda} \aleph_\beta.$

[redaktu] Fiksaj punktoj de alef

Por (ĉiu, iu) orda numeralo α ni havi

$\alpha\leq\aleph_\alpha.$

En multaj (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) _ℵ__α estas severe pli granda ol α. Ekzemple, por (ĉiu, iu) postanta orda numeralo α ĉi tiu tenas. Estas, tamen, iuj limigaj ordaj numeraloj kiu estas fiksaj punktoj de la alef funkcio. La unua tia estas la limigo de la vico

$\aleph_0, \aleph_{\aleph_0}, \aleph_{\aleph_{\aleph_0}},\ldots$

(Ĉiu, Iu) nealirebla kardinalo estas fiksa punkto de la alef funkcio kiel bone.

[redaktu] Populara kulturo

En la _Futurama_ epizodo Ĉifonanta pli fleksita, la (kinoteatra, kineja) nomo estis ( $\aleph_0$ )_PLEX_. Ĉi tiu estas evidenta vastigaĵo de La Simpsonoj (kinoteatro, kinejo) (ŝerco, ŝerci), bazita sur guglo, aŭ pli aparte _googolplex_ -- la _Googleplex_. Ĉi tiu ankaŭ aspektas al esti referenco al la matematika kuriozaĵo sciata kiel Hilberta Hotelo, aŭ Hilberta paradokso de la Granda Hotelo.

[redaktu] Vidi ankaŭ

Georg Cantor
(Kardinalo, Povo)
Nekalkulebla aro
Kontinuaĵa hipotezo

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Alef-nombro_49d2.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Aroteorio | Malfinio