Vikipedio:Projekto matematiko/Θ funkcio

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Θ funkcio
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, θ funkcioj estas specialaj funkcioj de kelkaj kompleksaj variabloj. Ili estas grava en kelkaj (areoj, areas), inkluzivanta la (teorioj, teorias) de abelaj diversaĵoj kaj modulaj spacoj, kaj de kvadrataj formoj. Ili havi ankaŭ estas aplikita al _soliton_ teorio. Kiam ĝeneraligis al _Grassmann_ algebro, ili ankaŭ aperi en kvantuma kampa teorio, aparte teorio de kordoj kaj D-branoj.

La plej komuna (formo, formi) de θ funkcio estas (tiu, ke, kiu) okazanta en la teorio de elipsaj funkcioj. Kun respekto al unu de la komplekso (variabloj, variablas) (kutime (nomita, vokis) z), θ funkcio havas propraĵa esprimanta ĝia konduto kun respekto al la (aldono, adicio) de (periodo, punkto) de la asociitaj elipsaj funkcioj (iam (nomita, vokis) kvazaŭ-periodeco, kvankam ĉi tiu estas ne rilatanta al la uzi de (tiu, ke, kiu) (termo, membro, flanko, termino) por dinamikaj sistemoj). Teorie teorio ĉi tiu estas montrita al veni de linia pakaĵa kondiĉo de descendo.

Enhavo

1 Jakobio θ funkcio
2 Helpaj funkcioj
3 Jakobiaj identoj
4 (Produkto, Produto) prezentoj
5 Integralaj prezentoj
6 Rilato al la Rimana ζ funkcio
7 Rilato al la Weierstrass-a elipsa funkcio
8 Iuj rilatoj al modulaj formoj
9 A solvaĵo al varma ekvacio
10 Rilato al la Grupo de Heisenberg
11 (Ĝeneraligoj, Ĝeneraligas)
12 Referencoj

[redaktu] Jakobio θ funkcio

La Jakobio θ funkcio estas funkcio difinis por du komplekso (variabloj, variablas) z kaj τ, kie z povas esti (ĉiu, iu) kompleksa nombro kaj τ estas limigita al la supra duonebeno, kiu (meznombroj, meznombras, signifas) ĝi havas pozitiva imaginara parto. Ĝi estas donita per la formulo

$\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp (\pi i n^2 \tau + 2 \pi i n z).$

Se τ estas (fiksita, neŝanĝebligita), ĉi tiu iĝas Serio de Fourier por perioda tuta funkcio de z kun (periodo, punkto) 1; en ĉi tiu (kesto, okazo), la θ funkcio (verigas, kontentigas) la idento

$\vartheta(z+1; \tau) = \vartheta(z; \tau).$

La funkcio ankaŭ kondutas tre regule kun respekto al (aldono, adicio) per τ kaj (verigas, kontentigas) la funkcionala ekvacio

$\vartheta(z+a+b\tau;\tau) = \exp(-\pi i b^2 \tau -2 \pi i b z)\vartheta(z;\tau)$

kie a kaj b estas (entjeroj, entjeras).

[redaktu] Helpaj funkcioj

Ĝi estas oportuna al difini tri helpa θ funkcioj, kiu ni (majo, povas) skribi

$\vartheta_{01} (z;\tau) = \vartheta(z+1/2;\tau)$

$\vartheta_{10}(z;\tau) = \exp(\pi i \tau/4 + \pi i z)\vartheta(z+\tau/2;\tau)$

$\vartheta_{11}(z;\tau) = \exp(\pi i \tau/4 + \pi i (z+1/2))\vartheta(z+(\tau+1)/2;\tau).$

Ĉi tiu (notacio, skribmaniero) sekvas Rimano kaj _Mumford_; Jakobia originala formulaĵo estis en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la _nome_ $q = exp(π i τ)$ iom ol τ, kaj θ estas (nomita, vokis) $θ 3$ , kun $\vartheta_{01}$ (termita, membrita, flankita, terminita) $θ 0$ , $\vartheta_{10}$ nomita $θ 2$ , kaj $\vartheta_{11}$ (nomita, vokis) $- θ 1$ .

Se ni aro z = 0 en la pli supre θ funkcioj, ni ricevi kvar funkcioj de τ nur, difinis sur la supra duonebeno (iam (nomita, vokis) θ (konstantoj, konstantas).) Ĉi tiuj povas kutimi difini (diversaj, diversaĵo) de modulaj formoj, kaj al _parametrize_ certaj kurboj; en aparta la Jakobia idento estas

$\vartheta(0;\tau)^4 = \vartheta_{01}(0;\tau)^4 + \vartheta_{10}(0;\tau)^4$

kiu estas la Kurbo de Fermat de grado kvar.

[redaktu] Jakobiaj identoj

Jakobiaj identoj priskribi kiel θ funkcioj (konverti, konverto) sub la modula grupo. Estu

$\alpha = (-i \tau)^{1/2} \exp\left({\pi i \tau z^2}\right).$

Tiam

$\vartheta_1 (z; -1/\tau) = -i \alpha \vartheta_1 (\tau z; \tau)$

$\vartheta_2 (z; -1/\tau) = \alpha \vartheta_4 (\tau z; \tau)$

$\vartheta_3 (z; -1/\tau) = \alpha \vartheta_3 (\tau z; \tau)$

$\vartheta_4 (z; -1/\tau) = \alpha \vartheta_2 (\tau z; \tau).$

Vidi ankaŭ: . (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) la (konvencioj, konvencias) por $z$ en (tiu, ke, kiu) referenco diferenci de tiuj ĉi tie per faktoro de $π$ .

[redaktu] (Produkto, Produto) prezentoj

La Jakobio θ funkcio povas esti esprimita kiel (produkto, produto), tra la Jakobia triopo (produkto, produto) teoremo:

$\vartheta(z; \tau) = \prod_{m=1}^\infty \left( 1-\exp 2i\pi \tau m \right) \left( 1+\exp i\pi \left[(2m-1)\tau +2z \right]\right) \left( 1+\exp i\pi \left[(2m-1)\tau -2z \right]\right).$

La helpaj funkcioj havi la esprimoj, kun $q = exp i πτ$ :

$\vartheta_1 (z;\tau) = 2 q^{1/4} \sin z \prod_{n=1}^\infty (1 - q^{2n}) (1 - 2 q^{2n} \cos 2 z + q^{4n})$

$\vartheta_2 (z;\tau) = 2 q^{1/4} \cos z \prod_{n=1}^\infty (1 - q^{2n}) (1 + 2 q^{2n} \cos 2 z + q^{4n})$

$\vartheta_3 (z;\tau) = \prod_{n=1}^\infty (1 - q^{2n}) (1 + 2 q^{2n-1} \cos 2 z + q^{4n-2})$

$\vartheta_4 (z;\tau) = \prod_{n=1}^\infty (1 - q^{2n}) (1 - 2 q^{2n-1} \cos 2 z + q^{4n-2}).$

[redaktu] Integralaj prezentoj

La Jakobio θ funkcioj havi jenaj integralaj prezentoj:

$\vartheta_1 (z; \tau) = -e^{iz + i \pi \tau / 4} \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \cos (2 u z + \pi \tau u) \over \sin (\pi u)} du$

$\vartheta_2 (z; \tau) = -i e^{iz + i \pi \tau / 4} \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \cos (2 u z + \pi u + \pi \tau u) \over \sin (\pi u)} du$

$\vartheta_3 (z; \tau) = -i \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \cos (2 u z + \pi u) \over \sin (\pi u)} du$

$\vartheta_4 (z; \tau) = -i \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \cos (2 u z) \over \sin (\pi u)} du.$

[redaktu] Rilato al la Rimana ζ funkcio

La rilato

$\vartheta(0;-1/\tau)=(-i\tau)^{1/2} \vartheta(0;\tau)$

estita uzita per Rimano al pruvi la funkcionala ekvacio por Rimana ζ funkcio, per la integralo

$\Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \pi^{-s/2} \zeta(s) = \frac{1}{2}\int_0^\infty\left[\vartheta(0;it)-1\right] t^{s/2}\frac{dt}{t}$

kiu povas esti montrita al esti invarianto sub anstataŭo de s per 1 − s. La (korespondanta, respektiva) integralo por z ne nulo estas donita en la artikolo sur la Ζ funkcio de Hurwitz.

[redaktu] Rilato al la Weierstrass-a elipsa funkcio

La θ funkcio estis uzita per Jakobio al konstrui (en (formo, formi) adaptita al facila kalkulo) liaj elipsaj funkcioj kiel la (kvocientoj, kvocientas, rilatoj, rilatas) de la pli supre kvar θ funkcioj, kaj povis havi estas uzita per lin al konstrui Elipsaj funkcioj de Weierstrass ankaŭ, ekde

$\wp(z;\tau) = -(\log \vartheta_{11}(z;\tau))'' + c$

kie la (sekundo, dua) derivaĵo estas kun respekto al z kaj la konstanto c estas difinita tiel ke la _Laurent_ elvolvaĵo de $\wp(z)$ je z = 0 havas nula konstanto (termo, membro, flanko, termino).

[redaktu] Iuj rilatoj al modulaj formoj

Estu η esti la Dedekindo η funkcio. Tiam

$\vartheta(0;\tau)=\frac{\eta^2\left(\frac{\tau+1}{2}\right)}{\eta(\tau+1)}$ .

[redaktu] A solvaĵo al varma ekvacio

La Jakobio θ funkcio estas la unika solvaĵo al la unu-dimensia varma ekvacio kun periodaj randaj kondiĉoj je tempa nulo. Ĉi tiu estas plej facile vidita per prenante z = x al esti (reala, reela), kaj prenante τ = ĝi kun t (reala, reela) kaj pozitiva. Tiam ni povas skribi

$\vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp(-\pi n^2 t) \cos(2\pi nx)$

kiu solvas la varma ekvacio

$\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it).$

(Tiu, Ke, Kiu) ĉi tiu solvaĵo estas unika povas vidiĝi per notanta (tiu, ke, kiu) je t = 0, la θ funkcio iĝas la Diraka kombilo:

$\lim_{t\rightarrow 0} \vartheta(x,it)=\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-n)$

kie δ estas la Diraka delta funkcio. Tial, ĝenerala solvaĵo povas esti precizigita per _convolving_ la (perioda) randa kondiĉo je t = 0 kun la θ funkcio.

[redaktu] Rilato al la Grupo de Heisenberg

La Jakobio θ funkcio povas esti penso de kiel (apartenanta, apartenaĵo) al prezento de la Grupo de Heisenberg en kvantummekaniko, iam (nomita, vokis) la θ prezento. Ĉi tiu povas vidiĝi per eksplicite konstruanta la grupo. Estu f(z) esti holomorfa funkcio, estu a kaj b esti reelaj nombroj, kaj (fiksi, neŝanĝebligi) valoro de τ. Tiam difini la (operatoroj, operatoras) S_a kaj T_b tia (tiu, ke, kiu)

(S a f)(z) = f (z + a)

kaj

(T b f)(z) = exp(i π b 2 τ + 2π i b z) f (z + b τ).

Dum

$S_{a_1} (S_{a_2} f) = (S_{a_1} \circ S_{a_2}) f = S_{a_1+a_2} f$

kaj

$T_{b_1} (T_{b_2} f) = (T_{b_1} \circ T_{b_2}) f = T_{b_1+b_2} f,$

S kaj T ne komutiĝi:

$S_a \circ T_b = \exp (2\pi iab) \; T_b \circ S_a.$

Tial ni vidi (tiu, ke, kiu) S kaj T kaj ankaŭ (unita (ankaŭ unuohava [ringo], unuargumenta) fazo (formo, formi) (nulpotenca, nilpotenta) Grupo de Lie, la (kontinua (reala, reela)) Grupo de Heisenberg, _parametrizable_ kiel $H=U(1)\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ kie U(1) estas la unuargumenta grupo. Ĝenerala grupa ero $U(\lambda,a,b)\in H$ tiam (agoj, agas, operacias, aktoj, aktas) sur holomorfa funkcio f(z) kiel

$U(\lambda,a,b)\;f(z)=\lambda (S_a \circ T_b f)(z) = \lambda \exp (i\pi b^2 \tau +2\pi ibz) f(z+a+b\tau)$

kie $\lambda \in U(1)$ . U(1) = Z(H) estas la centro de H, la komutila subgrupo [H, H].

Difini la subgrupo $\Gamma\subset H$ kiel

$\Gamma = \{ U(1,a,b) \in H : a,b \in \mathbb{Z} \}.$

Tiam ni vidi (tiu, ke, kiu) la Jakobio θ funkcio estas tuta funkcio de z tio estas invarianto sub Γ, kaj ĝi povas esti montrita (tiu, ke, kiu) la Jakobio θ estas la unika tia funkcio.

La pli supre θ prezento de la Grupo de Heisenberg povas esti rilatanta al la kanona _Weyl_ prezento de la Grupo de Heisenberg kiel sekvas. (Fiksi, Neŝanĝebligi) valoro por τ kaj difini normo sur tutaj funkcioj de la kompleksa ebeno kiel

$\Vert f \Vert ^2 = \int_{\mathbb{C}} \exp \left( \frac {-2\pi y^2} {\Im \tau} \right) |f(x+iy)|^2 \ dx \ dy.$

Estu $\mathcal{J}$ esti la aro de tutaj funkcioj f kun finia normo. $\mathcal{J}$ estas Hilberta spaco, kaj (tiu, ke, kiu) $U (λ, a, b)$ estas (unita (ankaŭ unuohava [ringo], unuargumenta) sur $\mathcal{J}$ , kaj (tiu, ke, kiu) $\mathcal{J}$ estas nereduktebla sub ĉi tiu ago. Tiam $\mathcal{J}$ kaj L²(R) estas izomorfia kiel H-(moduloj, modulas), kie H (agoj, agas, operacias, aktoj, aktas) sur L²(R) kiel

$U(\lambda,a,b)\;\psi(x)=\lambda \exp (2\pi ibx) \psi(x+a)$

por $x\in\mathbb{R}$ kaj $\psi\in L^2(\mathbb{R})$ .

Vidi ankaŭ la Ŝtono-_von_ Neumann-a teoremo por aldona evoluo de ĉi tiuj (ideoj, ideas). En rilato al (tiu, ke, kiu) artikolo, $S=\exp iP/\hbar$ kaj $T = exp i 2π Q$ .

[redaktu] (Ĝeneraligoj, Ĝeneraligas)

Se F estas kvadrata formo en n (variabloj, variablas), tiam la θ funkcio asociita kun F estas

$\theta_F (z)= \sum_{m\in Z^n} \exp(2\pi izF(m))$

kun la (sumo, sumi) etendanta super la krado de (entjeroj, entjeras) Zⁿ. Ĉi tiu θ funkcio estas modula formo de pezo n/2 (sur adekvate difinis subgrupo) de la modula grupo. En la Fourier-a elvolvaĵo,

$\theta_F (z) = \sum_{k=0}^\infty R_F(k) \exp(2\pi ikz)$ ,

la nombroj R_F(k) estas (nomita, vokis) la prezentaj nombroj de la (formo, formi).

[redaktu] Θ funkcio de Ramanujan

Vidi ĉefa artikolo Θ funkcio de Ramanujan.

[redaktu] Rimano θ funkcio

Estu

$\mathbb{H}_n=\{F\in M(n,\mathbb{C}) \; \mathrm{s.t.}\, F=F^T \;\textrm{and}\; \mbox{Im} F >0 \}$

esti aro de simetriaj kvadrataj matricoj kies imaginara parto estas pozitiva definitiva. H_n estas (nomita, vokis) la _Siegel_ supra duono-spaco kaj estas la _multi_-dimensia analoga de la supra duonebeno. La n-dimensia analoga de la modula grupo estas la _symplectic_ grupo _Sp_(_2n_,Z); por n = 1, _Sp_(2,Z) = Sl(2,Z). La n-dimensia analoga de la kongruecaj subgrupoj estas ludita per $\textrm{Ker} \{\textrm{Sp}(2n,\mathbb{Z})\rightarrow \textrm{Sp}(2n,\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}) \}$ .

Tiam, donita $\tau\in \mathbb{H}_n$ , la Rimano θ funkcio estas difinita kiel

$\theta (z,\tau)=\sum_{m\in Z^n} \exp\left(2\pi i \left(\frac{1}{2} m^T \tau m +m^T z \right)\right).$

Ĉi tie, $z\in \mathbb{C}^n$ estas n-dimensia kompleksa vektoro, kaj la supra indico T signifas la transponi. La Jakobio θ funkcio estas tiam speciala okazo, kun n = 1 kaj $\tau \in \mathbb{H}$ kie $\mathbb{H}$ estas la supra duonebeno.

La Rimano θ konverĝas absolute kaj unuforme sur kompakta (subaroj, subaras) de $\mathbb{C}^n\times \mathbb{H}_n.$

La funkcionala ekvacio estas

$\theta (z+a+\tau b, \tau) = \exp 2\pi i \left(-b^Tz-\frac{1}{2}b^T\tau b\right) \theta (z,\tau)$

kiu tenas por ĉiuj (vektoroj, vektoras) $a,b \in \mathbb{Z}^n$ , kaj por ĉiuj $z \in \mathbb{C}^n$ kaj $\tau \in \mathbb{H}_n$ .

[redaktu] Q-teta funkcio

Vidi ĉefa artikola Q-teta funkcio.

[redaktu] Referencoj

_Milton_ Abramowitz-a kaj Ireno A. _Stegun_, Gvidlibro de Matematikaj Funkcioj, (1964) Dovero (Eldonoj, Eldonas), (Nov-Jorkio, Novjorko). ISBN 486-61272-4 . (Vidi sekcio 16._27ff_.)
_Naum_ _Illyich_ _Akhiezer_, Eroj de la Teorio de Elipsaj Funkcioj, (1970) Moskvo, tradukita enen Angla kiel _AMS_ (Tradukoj, Tradukas, Translacioj, Translacias) de Matematika (Monografioj, Monografias) Volumeno 79 (1990) _AMS_, Rod-Insulo ISBN 0-8218-4532-2
_Hershel_ Sinjoro _Farkas_ kaj _Irwin_ _Kra_, Rimano (Surfacoj, Surfacas) (1980), _Springer_-_Verlag_, (Nov-Jorkio, Novjorko). ISBN 0-387-90465-4 (Vidi Ĉapitro 6 por kuracado de la Rimano θ)
Davido _Mumford_, _Tata_ (Prelegoj, Prelegas) sur Θ Mi (1983), _Birkhauser_, _Boston_ ISBN 3-7643-3109-7
Marmeladoj _Pierpont_ Funkcioj de Komplekso (Variablo, Varianta), Dovero
Elrabi E. _Rauch_ kaj _Hershel_ Sinjoro _Farkas_, Θ Funkcioj kun Aplikoj al Rimano (Surfacoj, Surfacas), (1974) (Vilhelmoj, Vilhelmas) & _Wilkins_ Co. _Baltimore_ ISBN 683-07196-3.

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_%CE%98_funkcio_4f0e.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Specialaj funkcioj | Elipsaj funkcioj | Q-analogoj | Rimanaj surfacoj