Pitagora triopo

El Vikipedio

Pitagora triopo estas en la nombroteorio ĉia grupo de tri naturaj nombroj, kiu povas esti flankoj de orta triangulo. Traktis ilin jam Diofanto el Aleksandrio.

Pro la teoremo de Pitagoro ili estas la pozitivaj solvoj de la diofanta ekvacio: $x^2 + y^2 = z^2 \qquad ( x,y,z \in \mathbb{Z} )$

Se x,y,z estas mallongigita, t.e., se ili ne havas komunan divizoron, oni nomas ilin primitiva pitagora triopo. Je ĉia primitiva triopo z estas nepara, kaj el la nombroj x kaj y unu estas para, la alia nepara.

Ekzemploj:

La plej malgranda pitagora triopo estas (3,4,5). Ĝi estas primitiva. Oni uzas ĝin en la Dekdunoda ŝnuro por krei ortajn angulojn.
(5,12,13) estas primitiva triopo.
(15,20,25) kaj (15,36,39) estas ne primitivaj.

[redaktu] Konstruo de pitagoraj triopoj

La formuloj

$x = u^2-v^2, y = 2uv, z = u^2+v^2 \$

donas por ĉiaj $u,v \in \mathbb{Z}, u>v$ pitagoran triopon. Sed ne ĉiu pitagoro triopo povas esti reprezentita tiel.

Sed ĉiu primitiva pitagora triopo (x,y,z) havas tian reprezenton, ĉar:

$u = \sqrt{\frac{z+x}{2}}, v = \sqrt{\frac{z-x}{2}}$

se y estas la para nombro de la triopo. u kaj v estas tiam naturaj nombroj sen komunaj divizoroj kaj u>v, unu el ambaŭ estanta para, la alia nepara.

Oni trovas donc ĉiujn pitagorajn triopojn, se oni uzas tiaj nombroj, kalkulas la tiel difinitan primitivan triopon x,y,z, kaj multiplikas per iu natura nombro n: nx,ny,nz.

Ekzemploj:

2,1 donas la triopon (3,4,5)
3,1 donas la triopon (8,6,10), kiu estas ne primitiva, ĉar 3 kaj 1 estas ambaŭ neparaj
3,2 donas la triopon (5,12,13)
multipliko per 7 donas (35,84,91)

[redaktu] La unuaj primitivaj pitagoraj triopoj

Laŭ tiuj reguloj oni ricevas kiel primitivaj pitagoraj triopoj ekzemple (ordigitaj laŭ u+v):

 u   v       x    y    z

 2   1       3    4    5

 4   1      15    8   17
 3   2       5   12   13

 6   1      35   12   37
 5   2      21   20   29
 4   3       7   24   25

 8   1      63   16   65
 7   2      45   28   53
 5   4       9   40   41

10   1      99   20  101
 9   2      77   36   85
 8   3      55   48   73
 7   4      33   56   65
 6   5      11   60   61

Estas notindaj du serioj da pitagoraj triopoj:

kun v = 1 (kaj para u):
(3, 4, 5), (15, 8, 17), (35, 12, 37), (63, 16, 65), (99, 20, 101), (143, 48, 145),… , (4n²-1, 4n, 4n²+1),…
do por ĉiu natura nombro n estas triopo, kiu enhavas la nombron 4n, kaj kie la diferenco de ambaŭ aliaj nombroj estas ekzakte 2.
kun v = u-1:
(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (13, 84, 85),… , (2n+1, 2n²+2n, 2n²+2n+1),…
do por ĉiu nepara nombro 2n+1 (krom 1) estas triopo, kies plej malgranda nombro estas 2n+1 kaj kie la diferenco de ambaŭ aliaj nombroj estas ekzakte 1.