Zentralprojektion

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Die Zentralprojektion ist ein Verfahren zur perspektivischen Abbildung dreidimensionaler Objekte auf eine zweidimensionale Bildebene. Die Projektionsstrahlen gehen von einem gemeinsamen Projektionszentrum aus. Geraden werden als Geraden abgebildet. Parallele Geraden des Raumes schneiden sich im Bild in einem gemeinsamen Fluchtpunkt. Die Zentralprojektion entspricht der Abbildung durch das menschliche Auge und ergibt somit einen natürlichen Bildeindruck. In der darstellenden Geometrie, der Architektur und der darstellenden Kunst wird die Zentralprojektionen zur Darstellung in Zentralperspektive, Vogelperspektive und Froschperspektivegenutz. In der Kartografie wird die Zentralprojektion für den Entwurf von Kartennetzen verwendet.

Ein Spezialfall der Zentralprojektion ist die Parallelprojektion. Bei dieser liegt das Projektionszentrum unendlich weit entfernt. Die Projektionsstrahlen verlaufen deshalb parallel.

[Bearbeiten] Prinzip

Unser einäugiges Sehen arbeitet ebenso nach dem Prinzip der Zentralprojektion, wie die einfache Lochkamera.

Das abzubildende Objekt, im Beispiel rechts die verschachtelten Dreiecke, wird von einem in endlicher Entfernung liegenden Projektionszentrum, wie der Irisblende des menschlichen Auges oder der Lochblende der Kamera durch die Projektionsstrahlen (Lichtstrahlen) auf eine Bildebene wie die Netzhaut oder einen fotografischen Film projiziert.

In der Prinzipskizze liegt die Bildebene zwischen Objekt und Projektionszentrum. Beim Auge und der Kamera liegt sie dahinter: Die Projektionsstrahlen werden dazu über das Projektionszentrum hinaus verlängert.

Wenn die Bildebene vom Projektionszentrum weg verschoben wird, vergrößert sich die Abbildung maßstabsgerecht.Wird der Abstand zwischen Bildebene und Projektionszentrum verkleinert, so wird auch die Abbildung verkleinert.

Bei Objekten, die auf dem gleichen Projektionsstrahl liegen, wird nur das dem Projektionszentrum am nächsten gelegene gesehen. Alle anderen sind hinter diesem versteckt.

Die Gerade, die senkrecht auf der Bildebene steht und gleichzeitig durch das Projektionszentrum geht, ist die Bildachse. Auf der Bildachse ist das Bild unverzerrt. Je weiter sich ein Bildpunkt vom Durchstoßpunkt dieser Geraden durch die Bildebene entfernt, desto größer wird die Verzerrung. Wird die Bildebene gegenüber der Senkrechten gekippt, so ist die Verzerrung auch richtungsabhängig verschieden. Bei normalen fotografischen Anwendungen ist das unerwünscht. Deshalb ist der Film senkrecht zur optischen Achse des Objektives.

Typische Anwendungen finden wir auch

• in der Fotografie z. B. beim Entzerren von Schrägaufnahmen,
• in der Photogrammetrie z. B. bei der Auswertung und Ausmessung von (Luft-) Bildern
• in der Darstellenden Geometrie und der Architektur bei der perspektivischen zeichnerischen Darstellung von Objekten
• in Kartografie für Kartennetzentwürfe (Gnomonische Projektion;Stereografische Projektion)
• in der Gnomonik der Lehre von der Sonnenuhr zur Abbildung der Sonne auf ein Ziffernblatt

Wenn das Projektionszentrum unendlich weit entfernt ist, dann verlaufen die Projekionsstrahlen parallel. Diese Sonderform der Zentralprojektion wird Parallelprojektion genannt. Wenn wir Schattenspiele mit der (angenähert) unendlich weit entfernten Sonne machen, so sind die Schatten Parallelprojektionen. Auch hier gibt es Verzerrungen, wenn die Projektionsfläche nicht senkrecht zur Verbindungslinie Sonne (=Projektionszentrum) und Objekt steht.

Parallelprojektionen finden wir in Zeichnungen der Darstellenden Geometrie, der Architektur und z. B. bei Lichtpausverfahren.

Mathematisch gesehen sind Zentralprojektionen so genannte projektive Abbildungen.

[Bearbeiten] Anwendungen

Die nebenstehende Grafik zeigt die Anwendung der Zentralprojektion zur perspektivischen Darstellung eines Gebäudes in der Zentralperspektive. Die Zentralperspektive wird unter anderem in der Architektur zur Verdeutlichung von Gebäudewirkung aber auch in der Malerei zum Aufbau eines Bildes mit Perspektive genutzt.

Das Projektionszentrum O entspricht der Position des Auges des Betrachters (Augenpunkt). Parallele Geraden schneiden sich in einem gemeinsamen Fluchtpunkt F. Geraden die parallel zur Blickrichtung des Betrachters verlaufen, haben ihren Fluchtpunkt im Abbild des Augenpunktes. Parallele Ebenen schneiden sich in einer gemeinsamen Geraden. Bei der Zentralperspektive schneiden sich die waagerechten Ebenen im Horizont.

In der Abbildung ist erkennbar wie die perspektivische Darstellung aus Grundriss und Aufriss entwickelt werden kann. Aus der Projektion eines Objektpunktes im Aufriss auf die Bildebene B und im Grundriss auf die Bildebene B' ergeben sich horizontale und vertikale Schnittgeraden, in deren Schnittpunkt das perspektivische Bild des Objektpunktes liegt.

Bei diesem Beispiel sind alle vertikalen Geraden auch in der Projektion parallel: ihr Fluchtpunkt liegt im Unendlichen. Wird der Fluchtpunkt für diese Geraden ins Endliche verlegt, so erhält man stürzende Linien wie bei der Vogelperspektive oder der Froschperspektive.

Grundriss, Aufriss und Seitenriss sind Parallelprojektionen.

Weitere Anwendungen:

• Kartografie,
• Photogrammetrie
• 3D-Computergrafik

[Bearbeiten] Siehe auch

• Perspektive, Optische Messtechnik
• Axonometrie
• Koordinatentransformation
• Gnomonische Projektion