Voronoi-Diagramm

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Mit Thiessen-Polygonen oder Voronoi-Polygonen werden punktförmig aufgenommene Messwerte in der Fläche dargestellt. Das zugehörige Interpolationsverfahren bezeichnet man als Polygon-Methode. Voronoi-Polygone werden in der Materialwissenschaft auch benutzt um eine zufällige Anordnung von Kristallen in einem polykristallinen Material zu simulieren - als Ausgangspunkt für weitere Berechnungen.

[Bearbeiten] Voronoi-Polygone

Bei der Konstruktion von Voronoi-Polygonen wird eine Fläche komplett mit Polygonen gefüllt. Allen Punkten einer Polygonfläche ist gemeinsam, dass sie am nächsten zu dem Messpunkt liegen, der zentral in diesem Polygon liegt.

Die Konstruktion erfolgt, indem auf allen Verbindungsgeraden zwischen den Messpunkten auf der Hälfte eine Senkrechte konstruiert wird und mit den anderen Senkrechten verbunden wird.

Man nennt das entstehende Diagramm auch Voronoi-Diagramm, benannt nach dem russischen Mathematiker Georgi Woronoi.

Das Voronoi-Diagramm verhält sich dual zur Delaunay-Triangulation und wird dort oft verwendet, um eine Eindeutigkeit zu erhalten. Dual bedeutet, dass wenn man mit den Eckpunkten der Voronoipolygone erneut ein Voronoi-Diagramm erstellt, erhält man ein Delaunay-Diagramm.

[Bearbeiten] Polygon-Methode

Bei der kartographischen Darstellung von Messwerten besteht das Problem, die Flächen zwischen den Messpunkten zu füllen. Die Polygon-Methode ist ein nichtstatistisches (d.h. vergleichsweise einfaches) Interpolationsverfahren der Geostatistik zur einfachen Darstellung der räumlichen Verteilung georeferenzierter Messdaten.

Als Grundannahme gilt, dass die Ähnlichkeit des unbekannten Wertes eines Punktes in der Fläche zum bekannten Messwert mit der Entfernung von diesem abnimmt, die Daten also umso unähnlicher sind, je weiter sie auseindander liegen. Dieser Zusammenhang wird bei der Polygon-Methode dadurch zum Ausdruck gebracht, dass jeder Messwert für ein ihn umgebendes Voronoi-Polygon homogenisiert wird, also alle Schätzwerte innerhalb dieses Polygons identisch zum jeweiligen Messwert sind.

Das Verfahren bildet insofern eine schlechte Näherung an die beobachtbare Realität, als dass an den Polygongrenzen scharfe Wertesprünge auftreten; fließende Übergänge zwischen zwei Messwerten können mit dieser Methode also nicht dargestellt werden.