Vollkonjunktion

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Als Vollkonjunktion (auch: Minterm, Miniterm oder Elementarkonjunktion) bezeichnet man in der Aussagenlogik einen speziellen Konjunktionsterm, d. h. eine Anzahl von Literalen, die alle durch ein logisches und ( $\wedge$ ) verknüpft sind. Dabei müssen alle $n$ Variablen der betrachteten $n$ -stelligen Booleschen Funktion im Konjunktionsterm vorkommen, um von einer Vollkonjunktion sprechen zu können. Vollkonjunktionen lassen sich zu einer disjunktiven Normalform zusammensetzen, was unter anderem beim Verfahren nach Quine und McCluskey vonnöten ist.

Inhaltsverzeichnis

1 Beispiele
2 Standardnummerierung der Vollkonjunktionen
3 Vergleich Minterm / Maxterm
4 Bezug zum Karnaugh-Veitch-Diagramm
5 Siehe auch

[Bearbeiten] Beispiele

$e_1 \wedge e_2$
$e_1 \wedge \neg e_2 \wedge e_3$
$\neg e_1 \wedge e_2 \wedge e_3$

[Bearbeiten] Standardnummerierung der Vollkonjunktionen

Vollkonjunktionen lassen sich auf natürliche Weise nummerieren. Man denkt sich dabei die Variablen in einer Reihe notiert, z. B. $X n X n - 1 ... X 2 X 1$ . Kommt für eine konkrete Vollkonjunktion das jeweilige Literal $X i$ negiert vor, so ersetzt man es durch eine 0, sonst durch eine 1. Es entsteht eine Binärzahl, die man dezimal interpretieren kann. Diese Dezimalzahl bezeichnet man als die Nummer oder den Index des Minterms. Will man diesen Minterm über seinen Index $i$ bezeichnen, so schreibt man $M i$ .

[Bearbeiten] Vergleich Minterm / Maxterm

In folgender Tabelle ist der Unterschied zwischen der Maxterm- und Mintermdarstellung ersichtlich:

Index	$x 2$ $x 1$ $x 0$	Minterm	Maxterm
0	0 0 0	$\neg x_2\wedge\neg x_1\wedge \neg x_0$	$x_2\vee x_1\vee x_0$
1	0 0 1	$\neg x_2\wedge\neg x_1\wedge x_0$	$x_2\vee x_1\vee\neg x_0$
2	0 1 0	$\neg x_2\wedge x_1\wedge \neg x_0$	$x_2\vee\neg x_1\vee x_0$
3	0 1 1	$\neg x_2\wedge x_1\wedge x_0$	$x_2\vee\neg x_1\vee\neg x_0$
4	1 0 0	$x_2\wedge\neg x_1\wedge \neg x_0$	$\neg x_2\vee x_1\vee x_0$
5	1 0 1	$x_2\wedge\neg x_1\wedge x_0$	$\neg x_2\vee x_1\vee \neg x_0$
6	1 1 0	$x_2\wedge x_1\wedge \neg x_0$	$\neg x_2\vee \neg x_1\vee x_0$
7	1 1 1	$x_2\wedge x_1\wedge x_0$	$\neg x_2\vee \neg x_1\vee \neg x_0$

Realisierung von Decoder-Schaltungen mit Mintermen / Maxtermen:

	Minterm	Maxterm
0	NOR-Gatter	AND-Gatter
1	OR-Gatter	NAND-Gatter

[Bearbeiten] Bezug zum Karnaugh-Veitch-Diagramm

Man spricht auch vom Minterm einer Funktion $F$ , wenn dieser $F$ impliziert, d. h. wenn gilt

$M(X) = 1 \Rightarrow F( X) = 1$ .

Dabei ist $X$ der Vektor der Eingangsvariablen. Derartige Minterme $M$ entsprechen umkehrbar eindeutig denjenigen Feldern eines Karnaugh-Veitch-Diagramms, die für die betrachtete Funktion den Wert 1 enthalten.