Diskussion:Unitäre Abbildung

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Ich finde, hier gehört noch eine Erklärung zu $U\overline{U}^{\rm T}=\overline{U}^{\rm T}U=I$ hin: overline bedeutet komplex konjugiert, T transponiert, oder?

Irgendwie widersprechen sich die zwei Absätze doch. Der eine sagt, dass Skalarprodukterhaltung aus Normerhaltung und Linearität von U folgt, und der zweite sagt, dass das im allgemeinen nicht, sondern nur für endlichdimensionale Räume, gilt. Man könnte übrigens Unitarität als Erhaltung des Skalarproduktes einführen und daraus Isometrie und Linearität folgern. Kann man nicht sogar aus der Normerhaltung und der Linearität die Umkehrbarkeit von U ableiten? DrLemming 18:21, 8. Aug 2006 (CEST)

Normerhaltung <=> Erhaltung des Skalarprodukzs. Und beides ist im Falle unendlichdimensionaler Räume nur notwendig, aber nicht hinreichen für Unitarität. --Pjacobi 14:48, 27. Aug 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Transponieren?

Wie transponiert man denn im Unendlichdimensionalen? Wie transponiert man denn überhaupt lineare Abbildungen, um diesen Artikel von Unitäre Matrix zu unterscheiden? -- R. Möws 15:09, 27. Aug 2006 (CEST)

en:Transpose#Transpose of linear maps. --Pjacobi 16:40, 27. Aug 2006 (CEST)

Das klingt nach dem, was ich als die adjungierte Abbildung kenne. Mir ist nämlich der Begriff transponierte Abbildung bis jetzt noch nicht begegnet. Danke, Benutzer:Sdo für die Einarbeitung des adjungierten Operators. --R. Möws 02:47, 28. Aug 2006 (CEST)

Adj. hat zusätzlich noch die kompl. Konj., oder? --Pjacobi 08:38, 28. Aug 2006 (CEST)

Ja. Und im rellen, endlichdimensionalen Fall entfällt die komplexe Konjugation, so dass sich die transponierte urpsrüngliche Matrix als darstellende Matrix für die adjungierte Abbildung ergibt – daher wahrscheinlich die Bezeichnung „transponierte Abbildung“ (die ich aber auch noch nie gehört habe). -- Sdo 10:04, 28. Aug 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Beispiel

Ich bin nicht der Meinung, dass diese Zahlenwüste irgendetwas erklärt.--Gunther 13:05, 1. Sep 2006 (CEST)

Demstimme ich zu. Wenn wir als Beispiel für eine unitäre Abbildung sowieso nur die durch eine unitäre Martix definierte Abbildung nehmen, dann spricht ja auch nichts dagegen, eine einfachere Matrix zu nehmen, zum Beispiel eine von den Pauli-Matrizen. Ein weiteres prominentes Beispiel für unitäre Abbildungen ist doch die Fourier-Transformation, wenn man sie im richtigen Raum definiert. Oder wir lehnen uns soweit aus dem Fenster, ohne Beweis zu behaupten, dass e^itH für einen selbstadjungierten Operator H und alle eine Unitäre Abbildung definiert. Dann müssten wir aber auch auf den Spektralkalkül von s.a. Operatoren eingehen. -- R. Möws 13:19, 1. Sep 2006 (CEST)

Beweise brauchen wir keine, nur Belege.--Gunther 13:32, 1. Sep 2006 (CEST)

Vergesst die Omas unter den Lesern nicht! Wie wäre es denn einfach mit einer Drehung um 90° im R²? Die lässt sich durch die leichtverständliche Matrix darstellen, ist deutlich anschaulicher als Fourier-Transformationen und erfordert keine besonderen Belege, Beweise oder Klimmzüge bei der Definition der zugehörigen Räume. Pauli-Matrizen sind von mir aus auch ok – diese Matrizen stellen ja auch nur Drehungen und Spiegelungen in der komlexen Ebene dar, auch wenn das nicht im entsprechenden Artikel steht. (Vorstehender nicht signierter Beitrag stammt von Sdo (Diskussion • Beiträge) 02:34, 2. Sep 2006)

In Anbetracht dessen, dass komplexe Zahlen benötigt werden, muss die Oma ja ohnehin ziemlich motiviert sein. Jedenfalls gefällt mir Dein Vorschlag, evtl. ergänzt um , deutlich besser als das derzeitige Beispiel.­--Gunther 11:16, 2. Sep 2006 (CEST)

Habe letzteres mal eingebaut. Das sollte jetzt auf jeden Fall verständlicher sein als vorher. -- Sdo 13:47, 3. Sep 2006 (CEST)

Ich habe das korrigiert und das andere Beispiel dazugenommen. Die Anschauung ist etwas komplizierter, Drehungen im vierdimensionalen Raum lassen sich nicht mehr so leicht beschreiben wie im dreidimensionalen. Würde man sich auf Abbildungen beschränken, gäbe es nur die Drehungen mit | λ | = 1, da werden mMn die Möglichkeiten nicht ausreichend klar.--Gunther 14:13, 3. Sep 2006 (CEST)

Wunderbar. -- Sdo 14:25, 3. Sep 2006 (CEST)