Stieltjesintegral

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In der Integralrechnung bezeichnet das Stieltjesintegral eine wesentliche Verallgemeinerung des Riemannintegrals oder eine Konkretisierung des Integralbegriffs von Lebesgue. Benannt wurde es nach dem niederländischen Mathematiker Thomas Jean Stieltjes (1856-1894). Das Stieltjes-Integral, für den der Begriff des Integrators grundlegend ist, findet Anwendung auf vielen Feldern, insbesondere in der Physik und der Stochastik.

Inhaltsverzeichnis

1 Das Riemann-Stieltjes-Integral für monotone Integratoren
2 Das Lebesgue-Stieltjes-Integral
3 Nicht monotone Integratoren
4 Eigenschaften

[Bearbeiten] Das Riemann-Stieltjes-Integral für monotone Integratoren

Seien $[a,b] \ne \varnothing$ ein reelles Intervall sowie $f,h: [a,b] \to \R$ zwei Funktionen. h sei (nicht notwendigerweise streng) monoton wachsend. Das dazugehörige Riemann-Stieltjes-Integral von f bezüglich h auf dem Intervall [a,b] wird wie das Riemannintegral über feine Zerlegungen des Intervalls, Ober- und Untersummen (siehe dort) definiert, jedoch lauten die Formeln der Ober- und Untersumme bei Stieltjes statt

$\overline{S_N} = \sum_{i=1}^{N} \max \Big\{ f(t):t \in [t_{i-1},t_i] \Big\} \cdot(t_i-t_{i-1})$ (Obersumme)

$\underline{S_N} = \sum_{i=1}^{N} \min \Big\{ f(t):t \in [t_{i-1},t_i] \Big\} \cdot(t_i-t_{i-1})$ (Untersumme)

nun:

$\overline{S_N} = \sum_{i=1}^{N} \max \Big\{ f(t):t \in [t_{i-1},t_i] \Big\} \cdot(h(t_i)-h(t_{i-1}))$ (Stieltjes-Obersumme)

$\underline{S_N} = \sum_{i=1}^{N} \min \Big\{ f(t):t \in [t_{i-1},t_i] \Big\}\cdot(h(t_i)-h(t_{i-1}))$ (Stieltjes-Untersumme)

Konvergieren Ober- und Untersumme für hinreichend feine Zerlegungen gegen den selben Wert, so heißt f bezüglich h auf [a,b] Riemann-Stieltjes-Integrierbar und der gemeinsame Grenzwert wird als Wert des Integrals bezeichnet. Die Schreibweise hierfür ist

$\int_a^b f ~ \mathrm dh$ oder $\int_a^b f(t) ~ \mathrm dh(t)$ .

Die Funktion h, auch als Integrator bezeichnet, regelt also, wie stark f an verschiedenen Stellen gewichtet wird. Statt Integrator ist deshalb auch die Bezeichnung Gewichtsfunktion üblich. Offensichtlich kann das gewöhnliche Riemannintegral nun als Spezielfall des Riemann-Stieltjes-Integrals mit $h(x)=x ~\forall x$ (Identität) aufgefasst werden

[Bearbeiten] Das Lebesgue-Stieltjes-Integral

Die Definition des Lebesgue-Stieltjes-Integrals fällt nicht schwer, da der monotonen Funktion h ein (fast überall) eindeutiges Maß $\hat{h}$ auf der Borelschen σ-Algebra $\mathcal{B}([a,b])$ durch die Vorschrift

$\hat{h} ([x,y[):=h(y-)-h(x-),\;\;\hat{h} ([x,y]):=h(y+)-h(x-)$ zugeordnet werden kann (ist h die Identität, so handelt es sich um das Lebesgue-Maß).

Ist f nun bezüglich dieses Maßes Lebesgue-integrierbar, so definiert sich das zugehörige Lebesgue-Stieltjes-Integral einfach als

$\int_a^b f ~ \mathrm dh :=\int_a^b f ~ \mathrm d\hat{h}$ ,

wobei die rechte Seite als gewöhnliches Lebesgueintegral aufzufassen ist.

[Bearbeiten] Nicht monotone Integratoren

Für eine eingeschränkte Menge nicht monoton wachsender Integratoren h kann das Stieltjes-Integral ebenfalls sinnvoll definiert werden, nämlich für solche mit endlicher Variation auf $[a, b]$ . Funktionen endlicher Variation können nämlich stets als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen dargestellt werden, also $h = h 1 - h 2$ mit $h_1, \;h_2: [a,b] \to \R$ monoton wachsend. Das zugehörige Stieltjes-Integral (wahlweise im Riemannschen oder Lebesgueschen Sinne) ist dann definiert als

$\int_a^b f ~ \mathrm dh := \int_a^b f ~ \mathrm dh_1 - \int_a^b f ~ \mathrm dh_2$ .

Es kann gezeigt werden, dass diese Definition sinnvoll, also unabhängig von der speziellen Wahl der Zerlegung ist.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Falls zu f, h und $[a, b]$ das Riemann-Stieltjes-Integral existiert, so existiert auch das zugehörige Lebesgue-Stieltjes-Integral und die beiden Werte stimmen überein.

Die Linearität des Integrals in f bleibt erhalten.

Weiterhin ist das Stieltjesintegral auch linear im Integrator, also $\int_a^b f \mathrm d(\alpha g + \beta h) = \alpha \int_a^b f ~ \mathrm dg + \beta \int_a^b f ~ \mathrm dh$ für Konstanten $\alpha,\beta \in \R$ und Funktionen g,h endlicher Variation

Das Integral ist invariant unter Translationen des Integrators, also $\int_a^b f ~ \mathrm d(h+c) =\int_a^b f ~ \mathrm d(h)$ für Konstanten c.

Treppenfunktionen als Integratoren: Ist f stetig und h eine Treppenfunktion, die in den Punkten $t_1, \ldots, t_n \in \; ]a,b[$ Sprünge der Höhe $\Delta h_1, \ldots, \Delta h_n \in \R$ vollführt, so gilt $\int_a^b f \; \mathrm dh = \sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta h_i$ .

Ist h differenzierbar, so gilt $\int_a^b f(x) ~ \mathrm dh(x) = \int_a^b f(x) \cdot h^{\prime}(x) ~ \mathrm dx$ (im Lebesgueschen Sinne: $h^{\prime}$ ist die Dichte von $\hat{h}$ )