Diskussion:Spezielle lineare Gruppe

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So wie ich ihn verstehe, ist dieser Satz falsch: A in SL_n(F), x Skalar, dann ist det(xA) = x^n det A = x^n, also im Fall n = 2, F = R positiv. Man kann natuerlich einen Schnitt waehlen, also die Skalare z.B. links oben einbetten.--Gunther 23:29, 25. Feb 2005 (CET)

Hmm... Die Frage ist also, ob tatsächlich GL_n(F) / SL_n(F) isomorph zu F* ist. Wenn das gilt, dann ist doch die andere Aussage eine triviale Folgerung davon, oder?

Nach deiner Argumentation gilt diese andere Aussage aber nicht. Also sollte bereits die genannte Isomorphie nicht gelten.

Aber ich bin Laie auf dem Gebiet, kann daher nicht mit einer "ähnlichen, aber richtigen" Aussage aufwarten. :) --SirJective 00:18, 26. Feb 2005 (CET)

Die Matrix mit x in der linken oberen Ecke, Einsen auf der restlichen Diagonale und Nullen sonst hat Determinante x, also ist GL_n(F) -> F^\times surjektiv. Das Problem ist, dass der Skalar x aber kanonisch eher der Matrix mit x ueberall auf der Diagonale entspricht, und die hat eben Determinante x^n, und das ist nicht mehr surjektiv. Aehnlich, aber richtig waere: Man kann jede Matrix aus SL_n(F) mit einer passend gewaehlten Matrix aus GL_n(F) multiplizieren, um eine Matrix mit beliebiger Determinante zu erhalten. Dann kann man nur gleich sagen: GL_n(F) -> F^\times ist surjektiv, und das steht implizit schon da. Deshalb hatte ich den Satz geloescht.--Gunther 00:54, 26. Feb 2005 (CET)

Denkfehler meinerseits. Es gilt

also ist die Abbildung GL_n / SL_n − > F ^* injektiv. Die Multiplikation mit Skalaren liefert aber nur n-te Potenzen. Man muss stattdessen z.B., wie du schreibst, mit einer Diagonalmatrix multiplizieren, die auf der ganzen Diagonalen außer an einer Stelle gleich 1 ist.

Woher kommt eigentlich die unterschiedliche Schreibweise R ^* und für die Einheitengruppe eines Ringes? --SirJective 13:32, 26. Feb 2005 (CET)

Keine Ahnung, woher die Schreibweise kommt. Ich multipliziere halt mit Kreuzen und Du mit Sternen ;-) Passt für meinen Geschmack besser zu kartesischen Produkten. Irgendwann hatte ich auch schonmal gesehen, aber das kommt so selten vor, dass es keine eigene Bezeichnung verdient.--Gunther 19:08, 26. Feb 2005 (CET)

Das ist wohl Geschmackssache. :) Und solange keiner kommt "Das muss überall so stehen wie ich es gewohnt bin" ist das auch egal. --SirJective 17:58, 26. Feb 2005 (CET)