Sonnenstand

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Mitternacht am 24. Juni 2005 in Helsinki; Restlicht der Sonne

Der Sonnenstand ist die durch den Höhenwinkel und die Himmelsrichtung beschriebene Position der Sonne am Himmel. Diese Position hängt vom Beobachtungsort und vom Beobachtungszeitpunkt ab. Der Sonnenstand bestimmt unter anderem den Einfallswinkel und die Intensität des Sonnenlichts.

Der Verlauf des Sonnenstands ist die Sonnenbahn, das ist die scheinbare Bahn der Sonne um den Beobachter, das auf die Himmelskugel projizierte Abbild der Umlaufbahn des Beobachters um die Sonne.

Dargestellt wird die Sonnenbahn in Verlauf eines Sonnenjahres mit dem Sonnenstandsdiagramm, gemessen mit der Sonnenuhr.

[Bearbeiten] Astronomie

Insbesondere spricht man von hohem oder von niedrigem Sonnenstand und von seiner Veränderung im Laufe der Jahreszeiten. Ihren höchsten Stand erreicht die Sonne jeweils zu Mittag (genauer: um 12 Uhr wahre Ortszeit) im Süden (für einen Beobachter nördlich des nördlichen Wendekreises) bzw. im Norden (für einen Beobachter südlich des südlichen Wendekreises). Diese sog „Mittagshöhe“ hängt von der geografischen Breite und dem Datum ab; in 50° Breite variiert sie zwischen 17° im Dezember und 63° im Juni (siehe Schiefe der Ekliptik).

[Bearbeiten] Umwelt

Vom Sonnenstand und seiner Veränderlichkeit hängen eine Reihe wichtiger Größen ab, vor allem

die Intensität der Sonnenstrahlung. Aus ihr ergeben sich weiters
die Klimazone (zusammen mit den Feuchtigkeits- und Bewölkungsverhältnissen) und die Arten der Vegetation
der Bedarf an Heizung bzw. an Kühlung
die Entstehung lokaler Winde (siehe z. B. Aufwind) und die Wolkenbildung, aber auch
regionale Winde (z. B. Monsun) und viele Meeresströmungen
die Entstehung von Siedlungsstrukturen, insbesondere im Gebirge.

[Bearbeiten] Kultur

Die Messung des Sonnenstandes durch Sonnenuhren ermöglicht den Menschen seit Jahrtausenden die Bestimmung der Tageszeit und die Einteilung des Jahres durch Kalenderrechnung. In der frühen Antike war sie die erste Methode der Erdmessung und wurde mit dem Aufkommen spezieller Messinstrumente zu einer wichtigen Methode der Navigation.

Der tägliche „Weg der Sonne über den Himmel“ spielt bei verschiedenen Mythologien eine große Rolle, etwa bei Helios' „Sonnenwagen“ der griechischen Antike und in der Deutung von Sonnenauf- und Untergang. Wir sind diese Zeitabläufe so sehr gewöhnt, dass die Veränderung des Sonnenstandes zu den einschneidendsten Reiseerlebnissen zählen kann. Jeder, der erstmals die Südhemisphäre bereist, ist erstaunt über die „Umkehrung“ der täglichen scheinbaren Sonnenbewegung „nach links“. Australier erkennen die Europäer unter anderem daran, wie schwer sie auf Parkbänken das Wandern des Schattens voraussehen.

[Bearbeiten] Sonnenstandsdiagramm

Auf eine Kugel projiziertes Sonnenstandsdiagramm.

Aus einem Sonnenstandsdiagramm lassen sich für einen gegebenen Ort Richtung und Höhe der Sonne für ein beliebiges Datum und eine beliebige Uhrzeit ablesen. Die folgenden Diagramme zeigen jeweils für den Monatsersten die tägliche Sonnenbahn von Aufgang bis Untergang („Tagbogen“, durchgezogen: Januar bis Juni, gestrichelt: Juli bis Dezember). Außerdem sind für die vollen Stunden die Sonnenpositionen für alle Tage des Jahres eingezeichnet und jeweils durch eine Linie verbunden. Die sich dabei für jede Stunde ergebende „Acht“ (ein Analemma) zeigt deutlich, wie die wahre Sonnenzeit gegenüber der mittleren Sonnenzeit im Verlaufe des Jahres vor- oder nachgeht.

An den weiter südlich gelegenen Orten erreicht die Sonne größere Mittagshöhen. Wie weit die Sonne um 12 Uhr MEZ von der Südrichtung entfernt ist, hängt von der Lage des Ortes in der (Mitteleuropäischen) Zeitzone ab: für die westlich von 15° Ost gelegenen Orte hat sie die Südrichtung zu diesem Zeitpunkt noch nicht erreicht, für östlich von 15° Ost gelegene Orte hat sie sie bereits überschritten.

Die in den Diagrammen aufgrund der gewählten Projektion krumm erscheinenden Tagbögen sind in Wirklichkeit ebene Kreise auf der Himmelskugel, wie die Projektion auf eine Kugel zeigt (Abbildung rechts).

Sonnenstandsdiagramm für Hamburg	Sonnenstandsdiagramm für Berlin	Sonnenstandsdiagramm für Köln	Sonnenstandsdiagramm für München
Sonnenstandsdiagramm für Bern	Sonnenstandsdiagramm für Innsbruck	Sonnenstandsdiagramm für Wien

[Bearbeiten] Berechnung

Der Sonnenstand für einen gegebenen Zeitpunkt lässt sich nach gängigen Methoden mit beliebiger Genauigkeit berechnen (z.B. nach der Planetentheorie VSOP87). Für Anwendungen mit mäßigen Anforderungen genügt die im Folgenden beschriebene stark vereinfachte Methode, die einen günstigen Kompromiss zwischen Genauigkeit und Rechenaufwand darstellt.

[Bearbeiten] Ekliptikalkoordinaten der Sonne

Der gewünschte Zeitpunkt ist zuerst in Weltzeit UT umzurechnen (UT = MEZ-1h = MESZ-2h). Als Zeitvariable $n$ wird die Anzahl der Tage seit dem Standardäquinoktium J2000.0 (1. Januar 2000, 12 Uhr TT ≈ 12 Uhr UT) verwendet, gegebenenfalls inklusive Tagesbruchteil. Ist $J D$ die Julianische Tageszahl des gewünschten Zeitpunkts, so gilt

$n \, = \, JD \, - \, 2451545{,}0$ .

Zunächst ist die Position der Sonne auf der Ekliptik zu bestimmen. Sieht man vorerst von den durch die Bahnelliptizität verursachten Geschwindigkeitsschwankungen ab und setzt eine mittlere Geschwindigkeit der Sonne an (360° in ca. 365,2422 Tagen), so erhält man die mittlere ekliptikale Länge $L$ der Sonne (in dieser Formel ist auch der Einfluss der Aberration bereits enthalten):

$L \, = \, 280{,}460^\circ + 0{,}9856474^\circ \cdot n$ .

Um den Einfluss der Bahnelliptizität nachträglich zu berücksichtigen und die ekliptikale Länge $Λ$ zu erhalten, ist hierzu als Korrektur die so genannte Mittelpunktsgleichung zu addieren. Diese Korrektur hängt vom Winkel zwischen Sonne und Perihel ab, der so genannten Anomalie. Die Mittelpunktsgleichung erwartet als Eingabewert die (fiktive) gleichförmig anwachsende mittlere Anomalie $g$ . Diese wächst um 360° in einem anomalistischen Jahr zu ca. 365,2596 Tagen:

$g \, = \, 357{,}528^\circ + 0{,}9856003^\circ \cdot n$ .

Die Mittelpunktsgleichung ist eine periodische Funktion der mittleren Anomalie und kann daher in eine Fourierreihe zerlegt werden. Bei kleinen Bahnexzentrizitäten kann die Reihe nach wenigen Termen abgebrochen werden. Berücksichtigt man nur in der Exzentrizität $e$ lineare und quadratische Terme, so lautet die Mittelpunktsgleichung

$\Lambda - L \, = \, \left( 2 e \sin(g) + \frac{5}{4} e^2 \sin(2g) \right) \, \cdot \, \frac{180^\circ}{\pi}$ ,

und für den Fall der Sonnenbahn mit $e \approx 0{,}0167$ ergibt sich daraus für die ekliptikale Länge $Λ$ der Sonne:

$\Lambda \, = \, L + 1{,}915^\circ \cdot \sin(g) + 0{,}020^\circ \cdot \sin(2g)$ .

$L$ und $g$ sollten vorher durch Addition oder Subtraktion geeigneter Vielfacher von 360° in den Bereich zwischen 0° und 360° gebracht werden. Alternativ zur Benutzung der Mittelpunktsgleichung kann die ekliptikale Länge auch mit Hilfe der Keplergleichung aus der mittleren Länge berechnet werden, was jedoch ein iteratives Lösungsverfahren erfordert.

[Bearbeiten] Äquatorialkoordinaten

Für die so berechnete entlang der Ekliptik gezählte ekliptikale Länge $Λ$ muss nun die zugehörige entlang des Himmelsäquators gezählte Rektaszension $α$ bestimmt werden. Mit der Schiefe der Ekliptik $\varepsilon$

$\varepsilon \, = \, 23{,}439^\circ - 0{,}0000004 \cdot n$

ergibt sich die Rektaszension $α$ als

$\alpha \, = \, \arctan\left( \frac{\cos(\varepsilon) \sin(\Lambda)}{\cos(\Lambda)} \right)$ .

Falls der Nenner im Argument des Arcustangens einen Wert kleiner Null hat, sind 180° zum Ergebnis zu addieren, um den Winkel in den richtigen Quadranten zu bringen ( $α$ muss im gleichen Quadranten liegen wie $Λ$ ). Alternativ zur hier benutzten exakten Formel kann für die Berechnung von $α$ auch eine Reihenentwicklung benutzt werden; siehe die Berechnungsmethode für die Zeitgleichung.

Die senkrecht zum Himmelsäquator gezählte Deklination $δ$ ergibt sich als

$\delta \, = \, \arcsin(\sin(\varepsilon) \sin(\Lambda))$ .

[Bearbeiten] Fehlerabschätzung

Der Fehler der vereinfachten Sonnenstandsformel des Astronomical Almanac bleibt im Zeitraum von 1950 bis 2050 fast immer unter 0,01°.

Wie die nebenstehende Grafik zeigt, erreichen die so berechneten Koordinaten der Sonne für den Zeitraum von 1950 bis 2050 eine Genauigkeit von etwa 0,01°. Der auffälligste Restfehler der ekliptikalen Länge hat eine regelmäßige Periode von 18,6 Jahren und eine Amplitude von 0,0047°; es handelt sich um die in der Rechnung nicht berücksichtigte Nutation in Länge. Zu den Rändern der Grafik hin wächst die Schwankungsbreite der Restfehler deutlich an. Dies wird durch die nicht berücksichtigte Änderung der Exzentrizität der Erdbahn verursacht, die bei der Berechnung der Koeffizienten der Mittelpunktsgleichung als konstant mit dem Wert für das Jahr 2000 angesetzt worden war. Dieser Fehler hat das anomalistische Jahr als Periode; seine Amplitude wächst in 100 Jahren um 0,0048°. Des weiteren sind jene Bahnstörungen vernachlässigt, die sich unmittelbar auf die ekliptikale Länge auswirken; vor allem die Störungen durch Jupiter (Terme mit Amplituden 0,0019°, 0,0014°, ...), Mond (Terme mit Amplituden 0,0017°, ...), Mars (Terme mit Amplituden 0,0014°, 0,0011°, ...) und Venus (Terme mit Amplituden 0,0014°, 0,0011°, ...). Dass die ekliptikale Breite stillschweigend konstant auf Null gesetzt wurde erzeugt keinen merklichen Fehler. Die berechneten Koordinaten sowie die Vergleichsdaten gelten für einen geozentrischen Beobachter; für einen realen Beobachter auf der Erdoberfläche kann die beobachtete Sonnenposition um bis zu 0,0024° (die Sonnenparallaxe) davon abweichen.

Werden genauere Daten benötigt, können diese mit aufwendigeren Verfahren berechnet oder von einem der zahlreichen Ephemeridenserver im Web bezogen werden (siehe Weblinks).

[Bearbeiten] Azimut, Höhe

Das Ergebnis ist bei Bedarf noch auf die Koordinaten Azimut $A$ (d.h. Himmelsrichtung) und Höhenwinkel $h$ umzurechnen. Dazu bestimme man die Julianische Tageszahl $J D 0$ für 0^h UT des betrachteten Datums, berechne zunächst

$T_0 \, = \, \frac{JD_0 - 2451545{,}0}{36525}$ in julianischen Jahrhunderten ab J2000.0

und damit die mittlere Sternzeit $θ G$ in Greenwich für den gesuchten Zeitpunkt $T$ (Weltzeit UT, in Stunden):

$\theta^h_G \, = \, 6{,}697376 + 2400{,}05134 \cdot T_0 + 1{,}002738 \cdot T$ in Stunden

Der erste Term ist die Sternzeit von Greenwich zum Zeitpunkt J2000.0, der zweite die Drift des Frühlingspunktes seit J2000.0

Die Sternzeit ist der Stundenwinkel des Frühlingspunktes, ausgedrückt im Zeitmaß ( $1^\mathrm{h} \hat= 15^\circ$ ). Ganzzahlige Vielfache von 24^h können gegebenenfalls vom Ergebnis abgezogen werden. Multiplikation mit 15°/h liefert den Greenwich-Stundenwinkel des Frühlingspunkts im Gradmaß:

$\theta_G = \theta^h_G \cdot 15^\circ/\mathrm{h}$

Für einen Ort auf der geographischen Länge $λ$ (nach Osten positiv gezählt) ist der Stundenwinkel des Frühlingspunkts

$\theta \, = \, \theta_G + \lambda$ ,

und Subtraktion der Rektaszension der Sonne $α$ liefert den Stundenwinkel $τ$ der Sonne für jenen Ort:

$\tau \, = \, \theta - \alpha$ .

Azimut $a$ und Höhenwinkel $h$ ergeben sich für einen Ort auf der geographischen Breite : $\varphi$ aus

$a = \arctan\left( \frac{\sin(\tau)}{\cos(\tau) \sin(\varphi) - \tan(\delta) \cos(\varphi)} \right)$

sowie

$h \, = \, \arcsin(\cos(\delta) \cos(\tau) \cos(\varphi) + \sin(\delta) \sin(\varphi))$ .

Falls der Nenner im Argument des Arcustangens einen Wert kleiner Null hat, sind 180° zum Ergebnis zu addieren, um den Winkel in den richtigen Quadranten zu bringen. Der nach der genannten Formel berechnete Azimut wird von Süden aus gezählt. Soll er von Norden aus gezählt werden, sind 180° zum Ergebnis zu addieren.

[Bearbeiten] Korrekturen auf Sichtbedingung

Schließlich ist bei Bedarf noch die Refraktion (Lichtbrechung in der Atmosphäre) zu berücksichtigen, welche die Sonnenscheibe etwas höher erscheinen lässt als sie tatsächlich steht. Die mittlere Refraktion (in Bogenminuten) für ein Objekt, das sich auf der Höhe h (in Grad) befindet, lässt sich näherungsweise berechnen durch

$R \, = \, \frac{1{,}02}{\tan\left( h + \frac{10{,}3}{h + 5{,}11} \right)}$ .

Die refraktionsbehaftete Höhe in Grad ist dann

$h_R \, = \, h + R/60$ .

Es ist zu beachten, dass die Refraktion vom detaillierten Zustand der Atmosphäre abhängt. Die angegebene Formel nimmt einen Luftdruck von 1010 mbar und eine Temperatur von 10° C an. Hiervon abweichende Bedingungen können durch geeignete Korrekturen berücksichtigt werden, aber auch dann beschreibt die Formel nur eine mittlere Refraktion, während die tatsächlichen Werte besonders in unmittelbarer Horizontnähe je nach aktueller Temperaturschichtung unter Umständen merklich von diesem Mittel abweichen können oder zu Szintillation führen.

[Bearbeiten] Sonstige Sonnendaten

Die Entfernung $D$ der Sonne von der Erde beträgt

$D \, = \, 1{,}00014 - 0{,}01671 \cdot \cos(g) - 0{,}00014 \cdot \cos(2g)$ ,

und ihr scheinbarer Radius

$0{,}2666^\circ / D$ .

Die Differenz $L - α$ , multipliziert mit 4, liefert die Zeitgleichung in Minuten.

[Bearbeiten] Beispiel

Es ist der Sonnenstand für den 6. August 2006 um 8 Uhr MESZ (6 Uhr UT) in München ( $\varphi$ = 48,1° N, $λ$ = 11,6° O) zu bestimmen. Es ergeben sich

$JD \, = 2453953{,}75$	$n \, = 2408{,}75 \, \mathrm{d}$	$L \, = 134{,}638^\circ$
$g \, = 211{,}593^\circ$	$\Lambda \, = 133{,}653^\circ$	$\varepsilon \, = 23{,}438^\circ$
$\alpha \, = -43{,}881^\circ + 180^\circ = 136{,}119^\circ$	$\delta \, = 16{,}726^\circ$	$JD_0 \, = 2453953{,}5$
$T_0 \, = 0{,}06594113621$	$\theta^h_G \, = 2{,}9759^\mathrm{h}$	$\theta \, = 56{,}239^\circ$
$A \, = 85{,}938^\circ + 180^\circ = 265{,}938^\circ = -94{,}062^\circ$	$h \, = 19{,}062^\circ$	$h_R \, = 19{,}110^\circ$

Ein Astronomieprogramm (SkyMap 2.2) liefert zum Vergleich $\alpha = 136{,}123^\circ$ , $\delta = 16{,}727^\circ$ , $A = -94{,}065^\circ$ und $h_R = 19{,}106^\circ$ .

[Bearbeiten] Siehe auch

Sonnenaufgang/Sonnenuntergang sowie Aufgang (Astronomie) zu deren Berechnung
Kulmination/Meridiandurchgang, Zeitgleichung - zum Problem von Mittag und Südrichtung
Ost-West-Vertikal, Digression - weitere Hauptaspekte
Ephemeridenrechnung, Sonnentafel - tabellierte Werte der Hauptaspekte
Breitengrad/Längengrad, Ortszeit - zum Problem lokaler Zeitangaben
Sonnenenergie, Sonnenscheindauer, Schattenlänge, Sonnenuhr

[Bearbeiten] Weblinks

http://ephemeriden.com/sun.py Aktueller Sonnenstand
http://cgi.stadtklima-stuttgart.de/mirror/sonne.exe aktueller Sonnenstand für beliebige Standorte
http://www.wetter-herrenberg.de/interaktives/Strahlung/sonnenstand.htm#elev instruktive Grafik zum Tagesgang der Sonne am 21. Juni und 21. Dezember.
http://sonnenstand.stephan-brumme.com weltweiter Sonnenstand
http://www.calsky.com/cs.cgi/Sun? Ephemeridenserver
http://ssd.jpl.nasa.gov/?horizons Ephemeridenserver für höchste Ansprüche (englisch)

[Bearbeiten] Quellen

Berechnung von $α$ und $δ$ : (AstAlm 2006), S. C24
Berechnung von $A$ und $h$ : (Meeus 2000), Kap. 12, 13. Die hier wiedergegebene Sternzeitformel wurde wegen der geringeren Genauigkeitsansprüche gegenüber der originalen Formel vereinfacht. Der Fehler bleibt im Zeitraum von 1950 bis 2050 kleiner als 0,0001°, wächst außerhalb dieser Grenzen wegen Vernachlässigung eines quadratischen Terms aber quadratisch an.
Refraktion: (Meeus 2000), Kap. 16
Fehlerdiskussion der vereinfachten Sonnenstandsberechnung: Nutation (Meeus 2000) Kap. 22; Störungen (vFPu 1979)
Auf- und Untergang: Definition, 16'+34': (Meeus 2000), Kap. 15

(AstAlm 2006) The Astronomical Almanac For The Year 2006, The Stationery Office, London 2004, ISBN 0-11-887333-4
(Meeus 2000) Jean Meeus: Astronomical Algorithms, Willmann-Bell, Richmond 2000 (2nd ed., 2nd printing), ISBN 0-943396-61-1
(vFPu 1979) Van Flandern, T.C., Pulkkinen, K.F.: Low-Precision Formulae for Planetary Positions, ApJ Supp. 41, 391-411 (1979) (pdf)

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