Satz von der majorisierten Konvergenz

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Der Satz von der majorisierten Konvergenz (auch Satz von der majorisierenden Konvergenz , Satz von der dominierten Konvergenz oder Satz von Lebesgue) ist eine zentrale Grenzwertaussage in der Maß- und Integrationstheorie und geht auf den französischen Mathematiker Henri Léon Lebesgue zurück.

Er besagt im wesentlichen, dass die Grenzfunktion einer $\varphi$ -fast-überall konvergenten Folge von $\varphi$ -integrierbaren Funktionen auf einem Maßraum $( \Omega,\mathcal{A},\varphi)$ , selbst wieder $\varphi$ -integrierbar ist, wenn die Folgenglieder von einer positiven $\varphi$ -integrierbaren Funktion g majorisiert (oder "dominiert") werden. Dabei konvergiert die Folge der Integrale der Folgenglieder gegen das Integral des Grenzfunktion.

Der Satz bedeutet auch, dass in solch einem Fall die Integralbildung und die Grenzwertbildung vertauscht werden können.

[Bearbeiten] Der Satz formal in seiner allgemeinsten Form

Sei $(\Omega,\mathcal{A},\varphi)$ ein Maßraum und sei $\left(f_n\right)$ eine Folge von Funktionen, die auf $\,\Omega$ $\varphi$ -integrierbar sind.

Weiter konvergiere die Folge $\left( f_n \right)$ $\varphi$ -fast überall gegen eine $\varphi$ -messbare Funktion $f$ und die Folge $\left(f_n\right)$ werde von einer $\varphi$ -integrierbaren Funktion $\,g$ auf $\,\Omega$ majorisiert, d.h., für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt $|f_{n}| \leq g$ $\varphi$ -fast überall.

Dann ist auch $f$ $\varphi$ -integrierbar und es gilt:

$\lim_{n \rightarrow \infty}\int{f_n}d\varphi = \int{f}d\varphi$ .

[Bearbeiten] Notwendigkeit der Voraussetzung

Die Voraussetzung der Majorisierbarkeit $|f_n|\le g$ ist nötig. Ein Beispiel ist folgende Folge $(q_n)_{n\in \mathbb{N}}$ : $q_n : [0,1] \rightarrow\mathbb{R}, q_n := n \chi_{[0,{1\over n}]}$ . Für $q n$ gilt: