Riemannscher Hebbarkeitssatz

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Der Riemannsche Hebbarkeitssatz (nach Bernhard Riemann) ist ein grundlegendes Ergebnis der mathematischen Funktionentheorie. Der Satz besagt, dass eine Singularität (also eine Stelle, an der eine holomorphe Funktion nicht definiert ist bzw. ein ungewöhnliches Verhalten zeigt) genau dann entfernt ("gehoben") werden kann, wenn ein Gebiet um die Singularität existiert, auf dem die holomorphe Funktion beschränkt ist. Eine solche Singularität heißt hebbar.

Inhaltsverzeichnis

1 Der Satz
2 Verallgemeinerungen
3 Anwendungsbeispiel: Nichtexistenz einer holomorphen Wurzelfunktion
4 Literatur
5 Weblinks

[Bearbeiten] Der Satz

Es sei $\,z_0$ ein Punkt des Gebietes $\;G$ , $\;f$ sei eine auf $\;G - \{ z_0 \}$ holomorphe Funktion. Ist $\;f$ auf einer punktierten Umgebung von $\;z_0$ beschränkt, so gibt es eine auf ganz $G$ holomorphe Funktion $\;\tilde f$ mit

$\tilde f|(G - \{ z_0 \} ) = f$ .

Man kann dann also $\;f$ in den Punkt $\;z_0$ hinein holomorph fortsetzen und damit die "Lücke" im Definitionsgebiet von $\;f$ "aufheben".

[Bearbeiten] Verallgemeinerungen

Eine einfache Verallgemeinerung besteht darin, die Voraussetzung der Beschränktheit dahingehend abzuschwächen, dass lediglich

$\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)=0$

gilt. Sie folgt leicht aus der obigen Formulierung durch Anwendung auf die in einer Umgebung von $z 0$ beschränkte Funktion $g (z) = (z - z 0) f (z)$ .

Gemäß der Unterteilung isolierter Singularitäten kann man den Riemannschen Hebbarkeitssatz auch als die Aussage interpretieren, dass eine Funktion in jeder Umgebung einer wesentlichen Singularität unbeschränkt ist. Nach dem Großen Satz von Picard gilt noch viel mehr: Eine holomorphe Funktion nimmt in der Nähe einer wesentlichen Singularität alle komplexen Zahlen mit höchstens einer Ausnahme als Wert an.

[Bearbeiten] Anwendungsbeispiel: Nichtexistenz einer holomorphen Wurzelfunktion

Behauptung: Es gibt keine auf $\mathbb C\setminus\{0\}$ holomorphe Funktion $f$ , die $f (z) 2 = z$ für $z\ne 0$ erfüllt und für positive reelle Argumente mit der üblichen Wurzelfunktion übereinstimmt.

Beweis durch Widerspruch: Es gälte $|f(z)|=\sqrt{|z|}$ , damit wäre $f$ in einer punktierten Umgebung der Null beschränkt, nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz also holomorph auf ganz $\mathbb C$ fortsetzbar. Damit müsste auch die Ableitung von $f$ bei 0 lokal beschränkt sein. Andererseits ist $f'(x)=\frac1{2\sqrt x}$ für positive reelle $x\to0$ unbeschränkt: aus diesem Widerspruch folgt, dass die ursprüngliche Behauptung wahr sein muss.