Rechteckschwingung

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Dieser Artikel stellt die Situation bei der Klangerzeugung dar. Hilf mit, die Situation in anderen Bereichen zu schildern.

Die Rechteckschwingung ist eine der klassischen Wellenformen bei der Klangerzeugung in analogen und digitalen Synthesizern. Sie hat einen „hohlen“ Klangcharakter und wird häufig als Basis zur Nachahmung von Flöten und Bläsern verwendet. Die Rechteckschwingung ist im Vergleich zu anderen Wellenformen besonders obertonreich.

[Bearbeiten] Generierung

Erzeugt werden kann eine Rechteckschwingung mit Hilfe der Fourierreihenentwicklung durch gezielte Überlagerung von Sinusschwingungen in bestimmten Frequenzverhältnissen. Je mehr Schwingungen dabei überlagert werden, desto besser schmiegt sich die überlagerte Schwingung der tatsächlichen Rechteckschwingung an. Alternativ kann die Rechteckschwingung auch durch Ein- und Ausschalten von Gleichstrom oder durch Umpolung erzeugt werden.

Die Fourierreihenentwicklung der Rechteckschwingung mit der Amplitude $h$ , der Winkelgeschwindigkeit $ω$ und der Zeitabhängigkeit von $t$ liefert:

$U(t) = \frac{4h}{\pi} \sum_{k=1}^\infty {\sin{\left ( (2k-1)\omega t \right )}\over 2k-1}$

Demonstration zur Erzeugung einer Rechteckschwingung durch Überlagerung von Sinusschwingungen

[Bearbeiten] Gibbssches Phänomen

Gibbssches Phänomen bei einer Rechteckschwingung

An den Sprungstellen der Funktion schießen bei einer Fourierreihenentwicklung aufgrund der Unstetigkeit die Funktionswerte über den eigentlichen Wert um etwa 18% der Sprunghöhe hinaus. Dieses Verhalten bezeichnet man als Gibbssches Phänomen und lässt sich durch erhöhen der Glieder in der Reihe nicht beheben. Der Effekt ist in der Anwendung meist unerwünscht.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, dem Gibbsschen Phänomen entgegenzuwirken, bei welchen im allgemeinen die Sprungstelle durch eine stetige Funktion ersetzt wird. Verwendet man also ein sehr steiles Geradenstück in der Umgebung der Steilflanke, führt dies bereits zu einer Verbesserung des gewünschten Ergebnisses. Ein noch besseres Ergebnis erzielt man durch einen stark gestauchten Cosinus anstelle der Steilflanke.