Primzahllücke

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Eine Primzahllücke ist die Differenz zwischen zwei benachbarten Primzahlen. Die kleinste Primzahllücke ist 3 - 2 = 1. Alle anderen Primzahllücken sind gerade, da 2 die einzige gerade Primzahl ist und somit die Differenz aus zwei ungeraden Zahlen gebildet wird. Zum Beispiel: 13 minus 11 oder 19 minus 17.

Inhaltsverzeichnis 1 Auftreten von Primzahllücken 2 Konstruktion beliebig großer Primzahllücken 2.1 n+1-Fakultät 2.1.1 Verfahren 2.1.2 Beispiel für n=5 2.1.3 Anmerkung 2.2 kgv(1,..,n+1) 2.2.1 Verfahren 2.2.2 Beispiel für n = 5 2.2.3 Anmerkung 2.3 Produkt aller Primzahlen bis n+1 2.3.1 Verfahren 2.3.2 Beispiel für n=5 2.3.3 Anmerkung 3 Das erste Auftreten einer Lücke einer bestimmten Größe 4 Weblinks

[Bearbeiten] Auftreten von Primzahllücken

• Da eine Lücke der Länge 1 nur zwischen einer geraden und einer ungeraden Primzahl auftreten kann, ist offensichtlich, dass es sie nur einmal gibt. (2 ist die einzige gerade Primzahl).
• Ob es unendlich viele Primzahlzwillinge, d. h. Lücken der Länge 2 gibt, ist eines der großen ungelösten Probleme der Mathematik.
• Abgesehen von 1 ist die Länge einer Primzahllücke immer gerade. Bei Primzahllücken gerader Länge müssen beide begrenzenden Zahlen ungerade sein.

[Bearbeiten] Konstruktion beliebig großer Primzahllücken

[Bearbeiten] n+1-Fakultät

[Bearbeiten] Verfahren

Der einfachste Weg, eine Primzahllücke zu erzeugen, die mindestens die Länge n hat, ist folgender: Wir betrachten die Zahlen (n+1)! + 2 bis (n+1)! + n +1.

Da (n+1)! durch 2 teilbar ist, ist es auch (n+1)! + 2

Da (n+1)! durch 3 teilbar ist, ist es auch (n+1)! + 3

usw...

Da (n+1)! durch n teilbar ist, ist es auch (n+1)! + n

Da (n+1)! durch n+1 teilbar ist, ist es auch (n+1)! + n + 1

Dadurch haben wir eine Primzahllücke gefunden, die mindestens die Länge n hat. Ob sie genau die Länge n hat können wir nicht sagen, da dazu (n+1)! + 1 und (n+1)! + n + 2 Primzahlen sein müssten, was wir aber nicht wissen (und auch bei allen anderen Verfahren nicht herausfinden können).

[Bearbeiten] Beispiel für n=5

Da (5+1)! = 720 durch 2 teilbar ist, ist es auch 720+2 = 722

Da 720 durch 3 teilbar ist, ist es auch 720+3 = 723

Da 720 durch 4 teilbar ist, ist es auch 720 + 4 = 724

Da 720 durch 5 teilbar ist, ist es auch 720 + 5 = 725

Da 720 durch 6 teilbar ist, ist es auch 720 + 6 = 726

Wir haben also eine Primzahllücke gefunden, deren Länge mindestens 5 ist. Tatsächlich ist die Länge der Lücke größer, da 721 durch 7 teilbar ist.

n	(n+1)!	(n+1)! + 2	(n+1)! + n + 1	Lücke zwischen
1	2	4	4	3 und 5
2	6	8	9	7 und 10
3	24	26	28	25 und 29
4	120	122	125	119 und 126
5	720	722	726	721 und 727

[Bearbeiten] Anmerkung

Diese Lücken lassen sich sehr schnell berechnen, werden aber schnell sehr groß. Folgende Verfahren erzeugen Lücken in kleineren Zahlen.

[Bearbeiten] kgv(1,..,n+1)

[Bearbeiten] Verfahren

Eine Variante der Methode, eine Primzahllücke über die Fakultät zu erzeugen, ist der Weg über das kleinste gemeinsame Vielfache aller Zahlen von 1 bis n+1. Jede Zahl der Form mit muss durch teilbar sein.

[Bearbeiten] Beispiel für n = 5

Da kgv(1,..,6) = 60 durch 2 teilbar ist, ist es auch 60 + 2 = 62

Da 60 durch 3 teilbar ist, ist es auch 60 + 3 = 63

Da 60 durch 2 teilbar ist, ist es auch 60 + 4 = 64

Da 60 durch 5 teilbar ist, ist es auch 60 + 5 = 65

Da 60 durch 2 teilbar ist, ist es auch 60 + 6 = 66

Hier haben wir tatsächlich eine Primzahllücke der Länge 5 gefunden, da 61 und 67 Primzahlen sind. (das ist aber nicht garantiert)

n	kgV(1,..,n+1)	kgV(1,..,n+1) + 2	kgV(1,..,n+1) + n + 1	Lücke zwischen
1	2	4	4	3 und 5
2	6	8	9	7 und 10
3	12	14	16	13 und 29
4	60	62	65	61 und 66
5	60	62	66	61 und 67

[Bearbeiten] Anmerkung

Bei diesem Verfahren sind die Zahlen schon deutlich kleiner, es geht aber noch besser.

[Bearbeiten] Produkt aller Primzahlen bis n+1

[Bearbeiten] Verfahren

Es gibt dann noch ein subtileres Verfahren, das auf einer mathematischen Operation beruht, die im englischen primorial genannt wird (Notation: p_n+1#), also dem Produkt aller Primzahlen von 2 bis p_n+1. Hierbei ist nicht sichergestellt, dass alle natürlichen Zahlen zwischen 2 und p_n+1 als Teiler vorhanden sind, aber dies ist auch gar nicht nötig. Interessant dabei ist, dass jede Zahl , die selbst keine Primzahl ist, ein Produkt aus Primzahlen zwischen 2 und p_n+1 ist. Daraus folgt, dass für jede Primzahl und jedes mit der größer 1 ist. Ein gemeinsamer Primfaktor teilt auch die Summe p#+k, die damit eine zusammengesetzte Zahlen ist.

Da nicht teilerfremd zu 2 ist, ist + 2 auch nicht teilerfremd zu 2

Da nicht teilerfremd zu 3 ist, ist + 3 auch nicht teilerfremd zu 3

Da nicht teilerfremd zu 4 ist, ist + 4 auch nicht teilerfremd zu 4

usw

Da nicht teilerfremd zu n+1 ist, ist auch nicht teilerfremd zu n+1

[Bearbeiten] Beispiel für n=5

Da durch 2 teilbar ist, ist es auch 30 + 2 = 32

Da 30 durch 3 teilbar ist, ist es auch 30 + 3 = 33

Da 30 durch 2 teilbar ist, ist es auch 30 + 4 = 34

Da 30 durch 5 teilbar ist, ist es auch 30 + 5 = 35

Da 30 durch 2 teilbar ist, ist es auch 30 + 6 = 36

Hier haben wir die Lücke gefunden, die tatsächlich die Länge 5 hat, da 31 und 37 Primzahlen sind. (das ist aber nicht garantiert)

n				Lücke zwischen
1	2	4	4	3 und 5
2	6	8	9	7 und 10
3	6	8	10	7 und 11
4	30	32	35	31 und 36
5	30	32	36	31 und 37

[Bearbeiten] Anmerkung

Wir finden jetzt also wieder eine Primzahllücke, die mindestens die Länge n hat. Diese hier wird aber durch deutlich kleinere Zahlen begrenzt als die oberen.

[Bearbeiten] Das erste Auftreten einer Lücke einer bestimmten Größe

Eine Formel, die für ein n das erste Auftreten einer Primzahllücke der Länge n angibt ist nicht bekannt.

[Bearbeiten] Weblinks

• Prime Gaps -- from MathWorld (englisch)
• The Top-20 Prime Gaps (englisch)
• The Gaps Between Primes (englisch)