Primelement
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Der Begriff Primelement ist in der abstrakten Algebra eine Verallgemeinerung des Begriffs der Primzahl auf kommutative unitäre Ringe.
Eine Nicht-Einheit 
eines kommutativen unitären Ringes 
heißt Primelement, falls für alle Elemente 
gilt: Teilt c das Produkt 
, so folgt stets c teilt a oder c teilt b.
In Symbolnotation: 
Primelemente sind also im wesentlichen diejenigen Elemente, die, wenn sie in irgendeinem Produkt vorkommen, auch in mindestens einem der Faktoren vorkommen.
Eine andere Verallgemeinerung des Primzahl-Begriffs bilden irreduzible Elemente, die nicht als Produkt von zwei Nicht-Einheiten dargestellt werden können. Die Begriffe Primelement und irreduzibles Element sind im allgemeinen verschieden.
[Bearbeiten] Sätze über Primelemente
- Ist c ein Primelement und e eine Einheit, so ist
ebenfalls ein Primelement. - Ist R ein Integritätsring, so ist jedes Primelement in R irreduzibel.
- Ist R ein faktorieller Ring, so ist jedes irreduzible Element auch prim, und jedes Element von
lässt sich bis auf Einheitsfaktoren (und Reihenfolge) eindeutig als Produkt von Primelementen darstellen. - Eine Nichteinheit von R ist genau dann ein Primelement, wenn das Hauptideal (c) ein Primideal ist.
[Bearbeiten] Beispiele
- Die Primelemente im Ring der ganzen Zahlen sind genau die Primzahlen (2, 3, 5, 7, 11, ...) und ihre Gegenzahlen (-2, -3, -5, -7, -11, ...).
- Einheiten und die 0 sind per Definition keine Primelemente.
- In einem Körper gibt es keine Primelemente.
