Orthogonale Matrix

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Eine orthogonale Matrix ist in der linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, eine quadratische, reelle Matrix, bei der je zwei ihrer Spaltenvektoren orthonormal sind. Sie stellen Kongruenzabbildungen, also Spiegelungen und Drehungen, dar. Der analoge Begriff bei komplexen Matrizen ist die unitäre Matrix.

Damit gilt, dass die Transponierte einer orthogonalen Matrix gleichzeitig ihre Inverse ist. Zur Lösung eines quadratischen linearen Gleichungssystems muss also nur die Koeffizientenmatrix transponiert und anschließend eine Matrizenmultiplikation durchgeführt werden.

Der Begriff orthonormale Matrix in Anlehnung an die orthonormalen Spalten ist nicht gebräuchlich.

Inhaltsverzeichnis 1 Definierende Eigenschaften 2 Weitere Eigenschaften 2.1 Geometrische Entsprechung 3 Die orthogonale Gruppe

[Bearbeiten] Definierende Eigenschaften

Gegeben sei eine quadratischen Matrix . Diese heisst orthogonal, wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist:

• Die Spaltenvektoren bzw. die Zeilenvektoren von Q bilden eine Orthonormalbasis des , es gilt also Q^TQ = QQ^T = I.
• Q ist invertierbar und ihre Transponierte ist gleichzeitig ihre Inverse:

  Q^T = Q ^{− 1} .

• Durch eine Multiplikation mit Q ändert sich die euklidische Länge eines Vektors nicht (Längentreue):

  

• Die Multiplikation mit Q ist invariant gegenüber der Bildung des euklidischen Skalarprodukts zweier Vektoren (Winkeltreue):

  

[Bearbeiten] Weitere Eigenschaften

• Q^T ist ebenfalls eine orthogonale Matrix.
• Das Produkt zweier orthogonaler Matrizen ist wieder orthogonal.
• Eine orthogonale Matrix ist normal und damit über den komplexen Zahlen diagonalisierbar.
• Eine orthogonale Matrix erhält sowohl die euklidische als auch die Frobeniusnorm einer Matrix, sowie ihre Kondition in den beiden Normen.

[Bearbeiten] Geometrische Entsprechung

Aufgrund der oben genannten Längen- und Winkeltreue stellen orthogonale Matrizen Kongruenzabbildungen dar. Damit ist der Betrag der Determinante einer orthogonalen Matrix Eins, für jeden Eigenwert von Q gilt also . Orthogonale Matrizen, deren Determinante 1 ist, entsprechen Drehungen, orthogonale Matrizen, deren Determinante − 1 ist, entsprechen in der Ebene Spiegelungen an einer Ursprungsgeraden und im Raum Ebenenspiegelungen oder Drehspiegelungen.

[Bearbeiten] Die orthogonale Gruppe

Alle orthogonalen Matrizen einer gegebenen Dimension n bilden die orthogonale Gruppe O(n). Die orthogonalen Matrizen, deren Determinante gleich 1 ist, bilden eine Untergruppe, die spezielle orthogonale Gruppe SO(n).