Netz (Geodäsie)

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In der Geodäsie versteht man unter einem Netz (geodätisches Netz) eine Anordnung von Vermessungspunkten, welche durch Beobachtungen (= Messungen) miteinander verbunden sind.

Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeines 2 Arten 3 Berechnung 4 Lagerung 5 Verwendung, Historisches

[Bearbeiten] Allgemeines

Ein geodätisches Netz wird verwendet, um die Koordinaten von Vermessungspunkten zu bestimmen. Für die Bestimmung werden Beobachtungen zwischen den einzelnen Punkten des Netzes ausgeführt. Diese Beobachtungen können sein:

• Richtungen
• Distanzen
• Zenit- oder Höhenwinkel
• Höhenunterschiede
• dreidimensionale Vektoren im Raum, die aus GPS-Messungen stammen (GPS-Vektoren)

[Bearbeiten] Arten

• Triangulationsnetze: von jedem Punkt aus werden Richtungen oder Winkel zu benachbarten Punkten gemessen. Dabei werden die Messungen so geplant, dass zwischen den Punkten jeweils Dreiecke entstehen. Zur Festlegung der Größe des Netzes muss entlang zumindest einer Dreiecksseite die Länge gemessen werden.
• Trilaterationsnetze: Von den Dreiecken, welche zwischen den Punkten des Netzes gebildet werden, werden nur die Distanzen gemessen.
• Höhennetze: Wenn von den Vermessungspunkten nur die Höhe zu bestimmen ist, ist es ausreichend, die Höhenunterschiede zu messen.
• GPS-Netze: Zwischen den Punkten werden durch GPS-Messungen die Raumvektoren (also die Koordinatenunterschiede in Richtung der x-, der y- und der z-Achse) ermittelt.
• Kombinierte Netze: zwei oder mehrere der oben angeführten Messmethoden kommen zum Einsatz.

Bis in die 1970er-Jahre wurden Triangulationsnetze bevorzugt eingesetzt, da mit dem damaligen Instrumentarium die Messung von Winkel mittels Theodolit wesentlich einfacher war als eine aufwändige Entfernungsmessung mit Messstäben etc. Durch die Weiterentwicklungen im Bereich der elektronischen Distanzmessung seit 1980 ist es heute wesentlich einfacher, auch Entfernungen zu messen. Außerdem kommen immer öfter auch GPS-Messungen zum Einsatz. Daher werden heute normalerweise geodätische Netze als kombinierte Netze angelegt.

[Bearbeiten] Berechnung

Um einerseits eine Kontrolle über die durchgeführten Messungen zu haben, andererseits auch qualitative Aussagen über das Netz und die ausgeführten Messungen machen zu können, werden die Messungen überbestimmt ausgeführt. Das heißt es erfolgen mehr Messungen (überzählige Messungen) als zur Bestimmung der Geometrie des Netzes notwendig sind.

Beispiel:

Wenn man in einem Dreieck alle drei Winkel α β γ misst, liegt eine Überbestimmung vor.
Diese kann in folgender Bedingung ausgedrückt werden:

Erhält man aus der Messung für die Summe einen Wert von 185° so kann man damit abschätzen,
dass die Messung schlechter ist, als wenn man eine Summe von 181° erhält

Um zu einem plausiblen Ergebnis zu kommen, bringt man an den drei gemessenen Winkeln Verbesserungen an, sodass dann das Ergebnis den erwarteten Wert von 180° ergibt.

Die Wahl der Verbesserungen erfolgt normalerweise nach der Methode der kleinsten Quadrate, wonach die Quadratsumme aller Verbesserungen möglichst klein wird. Dazu gibt es zwei Rechenmodelle:

• Bedingte Ausgleichung: Entsprechend dem oben genannten Beispiel wird für jede überzählige Messung eine Bedingungsgleichung aufgestellt:

andere Bedingungen in Dreiecken können z. B. die Erfüllung des Sinussatzes oder des Cosinussatzes sein. Das entstehende Gleichungssystem wird für alle v so gelöst, dass zusätzlich die Minimumbedingung erfüllt ist.

• Vermittelnde Ausgleichung: Jede Messung, die gemacht wurde, wird als Funktion der gesuchten Koordinaten der Vermessungspunkte ausgedrückt.

Wenn man die (horizontale) Entfernung zwischen zwei Punkten misst, erhält man:
s2 + v1 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

(wobei hier schon berücksichtigt ist, dass die Beobachtung wieder eine Verbesserung erhält).

Wieder erhält man ein (überbestimmtes) Gleichungssystem wobei hier schon die gesuchten Koordinaten der Vermessungspunkte die Unbekannten sind. Für dieseskann (nach der Linearisierung) unter der Minimumsbedingung eine eindeutige Lösung gefunden werden kann.

[Bearbeiten] Lagerung

In geodätischen Netzen werden normalerweise nur relative Größen gemessen, das heißt Größen, die sich auf den Unterschied zwischen zwei oder drei Punkten beziehen (Winkel, Entfernungen, Raumvektoren). Damit ist die innere Geometrie des Netzes festgelegt. Aber damit ist noch nicht definiert wo das Netz im Koordinatensystem gelagert wird. Beispiel:

Gemessen ist die Distanz s = 35 m zwischen zwei Vermessungspunkten.
Damit ist festgelegt, dass die beiden Punkte 35 m voneinander entfernt sein müssen.
Das kann nun bedeuten: Punkt 1 hat die Koordinaten x=100 und y=100
                       Punkt 2 hat die Koordinaten x=100 und y=135
oder:                  Punkt 1 hat die Koordinaten x=317 und y=412
                       Punkt 2 hat die Koordinaten x=282 und y=412
oder...

Um diesen Datumsdefekt (der sich bei der vermittelnden Berechnung dadurch äußert, dass das Gleichungssystem einen Rangdefekt hat) zu eliminieren, müssen zusätzliche Bedingungen für die Lagerung angegeben werden:

• Definieren eines Fundamentalpunktes und einer bevorzugten Richtung. D. h. für einen Punkt des Netzes werden willkürlich Koordinaten vorgegeben.
• Einbeziehung von schon bestehenden Vermessungspunkten in das Netz und Verwendung der Koordinaten dieser bekannten Punkte.
• Freie Ausgleichung: Zunächst wird das Netz so wie es gemessen wurde, ausgeglichen (wobei der Rangdefekt ignoriert wird) und dann wird es mit Hilfe von Passpunkten auf schon bestehende Vermessungspunkte auftransformiert.

[Bearbeiten] Verwendung, Historisches

Bereits im 19. Jahrhundert wurden in Deutschland und in der österreichisch-ungarischen Monarchie Triangulationsnetze über das ganze Land aufgespannt. Dabei wurden zwischen markanten Punkten (auf Kuppen, Berggipfel etc.) Winkelmessungen durchgeführt. Die Lagerung erfolgte mit einem Fundamentalpunkt (in Deutschland: Potsdam, in Österreich: Kahlenberg bei Wien). Zur Festlegung der Größe wurden an einigen Stellen Entfernungsmessungen durchgeführt (z.B. die "Wienerneustädter Basis" bei Wiener Neustadt südlich von Wien).

Ausgehend von den so geschaffenen Triangulierungspunkten wurden später lokale "Verdichtungen" des Netzes durchgeführt. Dazu wurden in einem kleineren Bereich (z. B. einer Gemeinde) ein geodätisches Netz aufgebaut, das unter Einbeziehung der bekannten Punkte gemessen und berechnet wurde. Dadurch entstanden weitere Triangulierungspunkte von untergeordneter Ordnung und Einschaltpunkte.

In den 1990er-Jahren wurden viele dieser Festpunkte durch ein GPS-Netz neu vermessen.

Heute ist die Vermessung eines geodätischen Netzes zur Bestimmung der Punkte in allen Bereichen ein Standardverfahren. Es wird in der Ingenieurgeodäsie genauso eingesetzt wie in der Katastervermessung zur Teilung von Flurstücken. Das ist einerseits zurückzuführen auf die weitgehende Verwendung elektronischer Messgeräte (Theodolit, elektronische Distanzmessung) als auch auf die weiter Verbreitung von Computersoftware zur Berechnung eines vermittelnden Ausgleichs.

Siehe auch: Struve-Bogen