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Multipolentwicklung

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Als Multipolentwicklung versteht man die Taylorentwicklung eines Potentials, bei der verschiedene Multipol-Momente auftreten.

[Bearbeiten] Elektrostatik

Das Potential $\Phi(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int d^3r'\frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}$ zur Ladungsverteilung ρ lässt sich für große Abstände schreiben als:

$\Phi(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left( \frac{Q}{r} + \frac{\vec{r}\cdot\vec{p}}{r^3} + \frac{1}{2}\sum_{k,l}Q_{kl}\frac{r_k\cdot r_l}{r^5}+...\right)$

Mit den Multipolmomenten:

Monopolmoment $Q=\int d^3r' \rho(\vec{r}')$ - entspricht der Gesamtladung
Dipolmoment $\vec{p}=\int d^3r' \vec{r}'\rho(\vec{r}')$
Quadrupolmoment $Q_{kl} = \int d^3r' \rho(\vec{r}')(3r'^k r'^l - (r')^2\delta_{kl})$ - ein spurfreier symmetrischer Tensor

Für einzelne Punktladungen q_i gilt:

Monopolmoment $Q=\sum_{i=1}^{n} q_i$
Dipolmoment $\vec{p}=\sum_{i=1}^{n} q_i \vec r_i$
Quadrupolmoment $Q_{kl} = \sum_{i=1}^{n} q_i(3r_i^k r_i^l - (r_i)^2\delta_{kl})$

[Bearbeiten] Magnetostatik

Das Vektorpotential hat naheliegend kein Monopolmoment.

Von „http://de.wikipedia.org../../../m/u/l/Multipolentwicklung.html“

Kategorie: Theoretische Physik

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