Monge-Ampèresche Gleichung

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Eine Monge-Ampèresche Gleichung, oder Monge-Ampèresche Differentialgleichung, ist eine spezielle nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in n Variablen.

Sie wurde von Gaspard Monge Anfang des 19. Jahrhunderts eingeführt, um ein Massentransportproblem ("problème du remblai-déblai", etwa: "Problem von Erdaufschüttung und -aushub") für militärische Zwecke zu lösen. Trotz ihrer recht einfachen Form ist sie im Allgemeinen schwierig zu lösen.

Inhaltsverzeichnis

1 Mathematische Formulierung
2 Konkretes Beispiel
3 Klassifizierung als partielle Differentialgleichung
4 Anwendungen
5 Weblinks

[Bearbeiten] Mathematische Formulierung

Allgemein hat eine Monge-Ampèresche Gleichung über einem offenen Gebiet $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ die Form

wobei $u: \Omega \to \mathbb{R}$ , mit $u = u(x_1, \ldots, x_n)$ die unbekannte Funktion ist, $f: \Omega \times \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}$ eine gegebene Funktion $f = f(x_1, \ldots, x_n, u, u_{x_1}, \ldots u_{x_n})$ , und

$D^2 u = \begin{pmatrix} u_{x_1x_1} & \cdots & u_{x_1 x_{n}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ u_{x_n x_1} & \cdots & u_{x_n x_n} \end{pmatrix} \qquad \mbox{mit } u_{x_i x_j} = \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}.$

die Hesse-Matrix von u. Speziell für den zweidimensionalen Fall n=2 ergibt sich die einfache Gestalt

mit $(x,y) \in \Omega \subset \mathbb{R}^2$ und den Funktionen $u (x, y)$ und $f (x, y, u, u x, u y)$ . Oft wird für den Fall n=2 aber auch die folgende Darstellung als allgemeine Monge-Ampèresche Gleichung bezeichnet:

wobei A, B, C und E Funktionen von (x, y, u, p, q) sind. Man erkennt gleich, dass sich mit A=B=C=0 und E=f die obige einfachere Gestalt ergibt.

[Bearbeiten] Konkretes Beispiel

Sei n=2 und $f (x, y) = 4(1 - y 2)(1 - x 2) - 16 x 2 y 2$ . Dann ist $u (x, y) = (1 - x 2)(1 - y 2)$ eine Lösung der Monge-Ampèreschen Differentialgleichung, denn $u x x = - 2(1 - y 2),$ $u y y = - 2(1 - x 2),$ $u x y = u y x = - 4 x y,$ und daher $\det\, D^2 u = \det \begin{pmatrix} -2(1-y^2) & -4xy \\ -4xy & -2(1-x^2) \end{pmatrix} = f(x,y).$

[Bearbeiten] Klassifizierung als partielle Differentialgleichung

Eine Monge-Ampèresche Gleichung ist eine voll nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in n Variablen. Erläuterungen:

"partielle Differentialgleichung", denn es wird eine von mehreren Variablen abhängende Funktion u gesucht, deren partielle Ableitungen der gegebenen Gleichung gehorchen müssen.

"voll nichtlinear", da alle Terme mit zweiten (also den höchsten) Ableitungen von u quadratisch auftauchen.

Eine wichtige Klasse sind die elliptischen Monge-Ampèrescher Gleichungen, die für n=2 die Bedingungen $A C - B 2 + E > 0$ und $t + A > 0$ erfüllen, bzw. in der einfacheren Form einfach $f > 0$ .

[Bearbeiten] Anwendungen

Die meisten Anwendungen der Monge-Ampèreschen Gleichung sind innermathematischer Art. Beim Minkowski-Problem beispielsweise wird eine strikt konvexe Hyperfläche mit vorgegebener Gaußkrümmung gesucht, was auf eine Monge-Ampèresche Gleichung führt. Das Problem wurde 1953 von Nirenberg gelöst.

Eine unerwartete Anwendung im Bereich der String-Theorie ergab sich durch ein 1978 veröffentlichtes Resultat von Yau, der eine Vermutung von Calabi über die Krümmung bestimmter Kähler-Mannigfaltigkeiten mit Hilfe der Lösung einer komplexen Monge-Ampèreschen Gleichung bewies (Satz von Yau). Man spricht heute entsprechend von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.

Bedeutende Beiträge zu Monge-Ampèreschen Gleichungen im Verlaufe des 20. Jahrhunderts kamen von Hermann Weyl, Franz Rellich, Erhard Heinz, Louis Nirenberg, Shing-Tung Yau, L.A. Caffarelli.