Logistische Gleichung
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Die logistische Gleichung wurde ursprünglich 1837 von Pierre François Verhulst als demografisches Modell eingeführt. Die Gleichung ist ein Beispiel dafür, wie komplexes, chaotisches Verhalten aus einfachen nichtlinearen Gleichungen entstehen kann. Bekannt wurde sie durch eine Seminararbeit des Biologen Robert May aus dem Jahr 1976. Bereits 1825 stellte Benjamin Gompertz in einem verwandten Zusammenhang eine ähnliche Gleichung vor.
Die zugehörige Dynamik kann anhand eines sogenannten Feigenbaumdiagramms (siehe unten) veranschaulicht werden. Eine wichtige Rolle spielt dabei die schon 1975 von Mitchell Feigenbaum gefundene Feigenbaum-Konstante.
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Das demographische Modell
Es werden mathematische Gesetzmäßigkeiten gesucht, die die Entwicklung einer Population modellhaft darstellen. Aus der Größe Xn der Population zu einem gewissen Zeitpunkt soll auf die Größe Xn + 1 nach einer Fortpflanzungsperiode (z.B. nach einem Jahr) geschlossen werden.
Das logistische Modell berücksichtigt zwei Einflüsse:
- Durch Fortpflanzung vermehrt sich die Population geometrisch; die Individuenzahl im Folgejahr ist proportional zur aktuellen Populationsgröße.
- Durch Verhungern verringert sich die Population; die Individuenzahl im Folgejahr ist hier proportional zur Differenz zwischen ihrer aktuellen Größe und einer theoretischen Maximalgröße.
Der erste Prozess allein wird mathematisch beschrieben durch die Gleichung
, mit einem Wachstumsfaktor qf, der die Fruchtbarkeit der Population wiedergibt,
der zweite Prozess allein durch
, mit einem Faktor qv, der die Auswirkungen des Hungers beschreibt. G ist dabei die Populationsgröße, bei der alle Individuen in der nächsten Zeitperiode verhungern würden.
Zusammengefasst ergeben diese Prozesse die Gleichung
.
Siehe auch: logistische Funktion
Um die folgenden mathematischen Untersuchungen zu vereinfachen, wird die Populationsgröße Xn oft als Bruchteil xn der Maximalgröße G angegeben:
- xn = Xn:G; xn + 1 = Xn + 1:G.
G, qf und qv werden zusammengefasst zu der Zahl
.
Zusatz: Eine weitere gängige Schreibweise für die logistische Differentialgleichung ist die folgende:
Hierbei ist K die Kapazität des Biotops, i.e. die Population, die bei geeigneter Wahl von r dem Fixpunkt der Dynamik entspricht.
[Bearbeiten] Das mathematische Modell
Damit ergibt sich: 
,
xn ist dabei eine Zahl zwischen 0 und 1. Sie repräsentiert die relative Größe der Population im Jahr n. Die Zahl x0 steht also für die Startpopulation (im Jahr 0). r ist immer eine positive Zahl, sie gibt die kombinierte Auswirkung von Vermehrung und Verhungern wieder.
[Bearbeiten] Verhalten in Abhängigkeit zu r
Bei verschiedenen r können die folgenden Verhaltensweisen für große n beobachtet werden. Dabei hängt dieses Verhalten nicht vom Anfangswert ab, sondern nur von r:
- Mit r von 0 bis 1 stirbt die Population in jedem Fall.
- Mit r zwischen 1 bis 2 stellt sich ein Grenzwert ein. Die Annäherung an den Grenzwert erfolgt monoton.
- Mit r zwischen 2 und 3 nähert sich die Population ihrem Grenzwert wellenförmig, d.h die Werte liegen ab einem bestimmten n abwechselnd über und unter dem Grenzwert.
- Mit r zwischen 3 und
(etwa 3,45) wechselt die Folge zwischen zwei Häufungspunkten. - Mit r zwischen und ungefähr 3,54 wechselt die Folge zwischen vier Häufungspunkten.
- Wird r größer als 3,54, stellen sich erst 8, dann 16, 32 usw. Häufungspunkte ein. Die Intervalle mit gleicher Anzahl von Häufungspunkten (Bifurkationsintervalle) werden immer kleiner; das Längenverhältnis zweier aufeinanderfolgender Bifurkationsintervalle nähert sich der Feigenbaumkonstanten. Diese Konstante ist auch in anderen mathematischen Zusammenhängen von Bedeutung. (Zahlenwert: δ ≈ 4,6692016091029906718532038204662016172581...).
- Bei r annähernd 3,57 beginnt das Chaos: Perioden sind nicht mehr erkennbar, winzige Änderungen des Anfangswertes resultieren in unterschiedlichsten Folgewerten - eine Eigenschaft des Chaos.
- Die meisten Koeffizienten zwischen 3,57 und 4 führen zu chaotischem Verhalten, obwohl für bestimmte r wieder Häufungspunkte vorhanden sind. Beispielsweise existieren in der Nähe von r = 3,82 bei steigendem r erst 3, dann 6, 12 usw. Häufungspunkte. Ebenso gibt es r-Werte mit 5 oder mehr Häufungspunkten - alle Periodendauern tauchen auf.
- Für r größer 4 divergiert die Folge für fast alle Anfangswerte und verlässt das Intervall [0;1].
Dieser Übergang von konvergentem Verhalten über Periodenverdopplungen zu chaotischen Verhalten ist generell für nichtlineare Systeme typisch, die in Abhängigkeit von einem Parameter chaotisches oder nicht chaotisches Verhalten zeigen. Ein weiteres Beispiel für die Universalität dieses chaostheoretischen Phänomens ist die der Mandelbrot-Menge zugrunde liegende Zahlenfolge.
[Bearbeiten] Graphische Darstellung
Das folgende Bifurkationsdiagramm, bekannt als Feigenbaum-Diagramm, fasst diese Beobachtungen zusammen. Die horizontale Achse gibt den Wert des Parameters r an und die vertikale Achse die Häufungspunkte für die Folge xn.
[Bearbeiten] Siehe auch
Chaosforschung, Bénard-Experiment
[Bearbeiten] Literatur
- Gompertz, B. (1825): On the Nature of the Function Expressive of the Law of Human Mortality, and on a New Mode of Determining the Value of Life Contingencies. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Vol. 115 (1825) pp. 513-585.
- Verhulst, P.F. (1838): Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement. Corr. Math. Phys. 10, 113-121.
