Limes superior und Limes inferior

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In der Mathematik bezeichnen Limes superior und Limes inferior einer Folge (x_n) den größten bzw. kleinsten Grenzwert konvergenter Teilfolgen von (x_n). Analog werden Limes superior und Limes inferior von reellwertigen Funktionen definiert. Limes superior und Limes inferior sind ein partieller Ersatz für den Grenzwert, falls dieser nicht existiert.

Inhaltsverzeichnis

1 Formale Definition
2 Folgen reeller Zahlen
3 Folgen von Mengen
4 Limes superior und Limes inferior von Funktionen
5 Quellen

[Bearbeiten] Formale Definition

Formal wird der Limes inferior einer Folge (x_n) definiert als

$\sup_{n\geq 0}\,\inf_{k\geq n}x_k=\sup\{\,\inf\{\,x_k:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}$

bzw. als

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\inf_{m\geq n}x_m\right)$

und mit $\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n$ oder auch mit $\underline{\lim}_{n\rightarrow\infty}x_n$ bezeichnet.

Diese Definitionen sind in einer partiell geordneten Menge sinnvoll, falls die vorkommenden Suprema und Infima existieren. In einem vollständigen Verband existieren diese Größen immer, so dass in diesem Fall auch jede Folge einen Limes inferior und einen Limes superior besitzt.

Existieren Limes inferior und Limes superior einer Folge (x_n), so ist $\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n.$

[Bearbeiten] Folgen reeller Zahlen

Für eine Folge reeller Zahlen müssen Limes inferior und Limes superior nicht existieren, da die reellen Zahlen keinen vollständigen Verband bilden. Wenn sie existieren, sind sie der kleinste bzw. der größte Häufungspunkt der Folge. Häufig werden Limes inferior und Limes superior allerdings als Elemente der erweiterten reellen Zahlen $\R\cup\lbrace-\infty,+\infty\rbrace$ betrachtet; in diesem Fall existieren sie immer.

Für eine Folge von reellen Funktionen $(f_n)_{\{n \in \N\}}$ mit $f_n\colon\R\rightarrow\R$ für $n \in \N$ sind Limes inferior und Limes superior punktweise definiert, d.h.

$(\liminf_{n\rightarrow\infty} f_n)(x)=\liminf_{n\to\infty}f_n(x),$

analog für lim sup.

Eine der bekanntesten mathematischen Aussagen, die den Begriff des Limes inferior verwenden, ist das Lemma von Fatou.

[Bearbeiten] Folgen von Mengen

[Bearbeiten] Limes superior und Limes inferior

Für eine beliebige Menge $Ω$ bildet die Potenzmenge $P (Ω)$ einen vollständigen Verband. Betrachtet man eine Folge (A_n) von beliebigen Teilmengen von $Ω$ , so bezeichnet der Limes inferior dieser Folge alle Elemente, die in fast allen A_n liegen. Entsprechend bezeichnet der Limes superior eine Menge, die alle Elemente enthält, die in unendlich vielen A_n liegen.

In der Sprache der Mengenlehre ausgedrückt,

$\liminf_{n\rightarrow\infty} A_n={\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}A_m\right)$

und

$\limsup_{n\rightarrow\infty} A_n={\bigcap_{n=1}^\infty}\left({\bigcup_{m=n}^\infty}A_m\right).$

Der Limes superior von Mengen wird beispielsweise im Borel-Cantelli-Lemma verwendet.

[Bearbeiten] Zusammenhang mit Folgen von Zahlen

Die charakteristische Funktion des Limes inferior bzw. Limes superior von Mengen ist der punktweise Limes inferior bzw. Limes superior der charakteristischen Funktionen der einzelnen Mengen: Aus

$\chi_A(x)=\sup_n\chi_{A_n}(x)$ für $A=\bigcup_nA_n$

und

$\chi_A(x)=\inf_n\chi_{A_n}(x)$ für $A=\bigcap_nA_n$

folgt

$\chi_{\bigcup_n\bigcap_{m\geq n}A_m}(x)=\sup_n\chi_{\bigcap_{m\geq n}A_m}(x)=\sup_n\inf_{m\geq n}\chi_{A_m}(x),$

analog für lim sup.

[Bearbeiten] Konvergenz

Man sagt, die Folge (A_n) konvergiert gegen eine Menge A, falls der Limes inferior und der Limes superior gleich sind und schreibt $A=\lim_{n\rightarrow\infty}A_n$ oder auch $A_n\rightarrow A$ . Eine Folge von Teilmengen einer Menge $X$ konvergiert genau dann, wenn es zu jedem $x$ einen Index $N$ gibt, so dass entweder $x\in A_n$ für alle $n\geq N$ oder $x\notin A_n$ für alle $n\geq N$ gilt.

[Bearbeiten] Monotone Konvergenz

Ist $A_1\subseteq A_2\subseteq \cdots$ , dann kann man zeigen, dass (A_n) gegen eine Menge A konvergiert und man schreibt $A_n\uparrow A$ .

Entsprechend kann man für $A_1\supseteq A_2\supseteq\cdots$ zeigen, dass (A_n) gegen eine Menge A konvergiert und man schreibt $A_n\downarrow A$ .

[Bearbeiten] Limes superior und Limes inferior von Funktionen

Ist eine reellwertige Funktion $f:I\to \R$ auf einem Intervall $I$ gegeben und $ξ$ ein innerer Punkt des Intervalls, so sind Limes superior und Limes inferior jene Werte aus den erweiterten reellen Zahlen $\bar{\R}=\R\cup\{-\infty,+\infty\}$ , die folgendermaßen definiert sind:^[1]

$\limsup_{x\to\xi} f(x)=\inf_{a>0} \sup f((\xi-a,\xi+a))$ ,

$\liminf_{x\to\xi} f(x)=\sup_{a>0} \inf f((\xi-a,\xi+a))$ .

$f ((ξ - a,ξ + a))$ bezeichnet dabei die Bildmenge des offenen Intervalls $(ξ - a,ξ + a)$ ; $a$ ist dabei so klein zu wählen, dass $(\xi-a,\xi+a)\subseteq I$ .