Lemma von Itō

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Das Lemma von Itō (auch Itō-Formel), benannt nach dem japanischen Mathematiker Itō Kiyoshi, ist eine zentrale Aussage in der stochastischen Analysis. Es ist die Kettenregel aus der Differentialrechnung für stochastische Prozesse.

[Bearbeiten] Voraussetzung

Sei $(W_t), t \ge 0$ eine (Standard-)Brownsche Bewegung. Ein stochastischer Prozess $(X_t),t \ge 0$ heißt Itō-Prozess, falls

$X(t)= X(0)+\int_0^t f(s,X_s)ds+\int_0^t g(s,X_s)dW_s$ für zwei Funktionen f ,g gilt (genaueres dazu unter stochastische Integration). In Differentialschreibweise:

d X t = f (t, X t) d t + g (t, X t) d W t

[Bearbeiten] Das Lemma

Das Lemma von Itō besagt: Ist $h:\mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ eine in der ersten Komponente einfach und in der zweiten zweifach stetig differenzierbare Funktion, so ist auch $Y t : = h (t, X t)$ ein Itō-Prozess und es gilt

$dY_t= \left(\frac{\partial h(t,X_t) f(t,X_t)}{\partial X} + \frac{\partial h(t,X_t)}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 h(t,X_t) g^2(t,X_t)}{\partial^2 X}\right)dt+\frac{\partial h(t,X_t) g(t,X_t)}{\partial X}dW_t$ .

[Bearbeiten] Ein Beispiel

Mit Hilfe des Lemmas kann man einfach beweisen, dass die geometrische Brownsche Bewegung

$S_t=a e^{rt-0.5 \sigma^2 t +\sigma W_t}$

das stochastische Anfangswertproblem von Black und Scholes

$dS_t=r S_t dt+ \sigma S_t dW_t,\; S_0=a$

löst: hierzu wählt man $X t = W t$ , also $f(t,W_t)=0,\; g(t,W_t)=1$ .

Dann ergibt das Lemma (mit h=S):

$dS_t=\left[\left(r-0.5 \sigma^2+\frac{\sigma^2}{2}\right)ae^{rt-0.5 \sigma^2 t +\sigma W_t} \right]dt+\left[\sigma ae^{rt-0.5 \sigma^2 t +\sigma W_t}\right]dW_t =rS_t dt+\sigma S_t dW_t$