Lambert-Beersches Gesetz

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Das Lambert-Beer'sche Gesetz ist eine Vereinigung des Bouguer-Lambertschen Gesetzes über die Schwächung der Strahlungsintensität mit der Weglänge beim Durchgang durch eine absorbierende Substanz mit dem Beer'schen Gesetz über den Zusammenhang der Intensitätsschwächung mit der Konzentration der absorbierenden Substanz. Das Gesetz bildet die Grundlage der modernen Spektroskopie als analytische Methode.

Die einfache Fassung ist für monochromatische Strahlung (Licht) und verdünnte Lösungen bzw. deren optische Entsprechung in Festkörpern oder Gasräumen gültig.

[Bearbeiten] Extinktion durch Pigmente

Extinktion eines Lichtstrahls durch eine Küvette der Dicke l.

Die Extinktion $E λ$ (Absorbanz des Materials für Licht der Wellenlänge $λ$ ) ist gegeben durch

$E_\lambda = -\lg \! \left(\frac{I}{I_{0}}\right) = c \cdot \epsilon _\lambda \cdot l$

mit

$I$ : Intensität des transmittierten Lichtes
$I 0$ : Intensität des einfallenden (eingestrahlten) Lichtes
$c$ : Konzentration der absorbierenden Substanz in der Flüssigkeit (typische Einheiten: mol/m³ oder mol/l)
$ε λ$ : dekadischer molarer Extinktionskoeffizient bei der Wellenlänge $λ$ . Dieser kann auch z.B. vom pH-Wert abhängen und hat die Einheit m³/(mol cm) oder l/(mol cm).
$l$ : Weglänge des Lichtes im Material, Einheit: cm.

[Bearbeiten] Wellenlängenabhängigkeit

Die Extinktion ist auch von der Wellenlänge des eingestrahlten Lichtes abhängig. Die Abnahme der Lichtintensität beim Durchqueren einer Probelösung mit der Konzentration $c$ kann auch durch folgende abfallende Exponentialfunktion beschrieben werden:

$I = I_0 \cdot e^{(-\alpha \cdot c \cdot l)}$

Dabei ist $α$ der natürliche molare Extinktionskoeffizient, in Formulierung der Wellenlängenabhängigkeit mit dem Extinktionskoeffizienten k: $\alpha = \frac{4 \pi k}{\lambda}$ .

Durch Umstellung dieser Gleichung ergibt sich:

$- \ln \! \left(\frac{I}{I_0}\right) = \alpha \cdot c \cdot l$ .

[Bearbeiten] Lichtdämpfung durch Feststoffe

Das gleiche Gesetz gilt auch für die Beschreibung der Lichtausbreitung in festen Stoffen. Es stellt z.B. die fundamentale Beziehung zur Berechnung der Dämpfung optischer Signale in Lichtwellenleitern (LWL) zur Signalübertragung dar. Die Lichtausgangsleistung $P (l)$ eines LWLs der Länge $l$ ist damit

$P(l) = P_0 \cdot e^{-\alpha^'l}$ .

mit $P 0$ - in den LWL eingekoppelte Leistung, $α'$ - Dämpfungsfaktor in 1/km und $l$ in km.

Dabei ist $α'$ stark von der Lichtwellenlänge $λ$ und vom Material des LWLs abhängig. Für das in Langstrecken-LWLn verwendete Silikatglas verringert sich $α' (λ)$ zwischen dem sichtbaren Bereich um 0.6 µm bis etw 1.6 µm mit der vierten Potenz der Wellenlänge; an dieser Stelle erfolgt dann eine steile Erhöhung der Dämpfung durch eine Materialresonanz des Glases. Ein weiterer Dämpfungspol liegt im UV-Bereich. OH-Ionen im Glas, die man durch spezielle Herstellungstechnologien zu vermeiden sucht, verursachen eine (inzwischen geringe) selektive Dämpfungserhöhung bei etwa 1.4 µm. Die Dämpfungswerte für die in LWL-Kurzstrecken eingesetzte Kunststofffasern sind höher und sind ebenfalls stark material- und wellenlängenabhängig; sie sind am geringsten im sichtbaren Bereich.

An Stelle der oben angegebenen Schreibweise wird in der Signalübertragungstechnik die Darstellung

$P(l) = P_0 \cdot 10^{-(\alpha l)/10}$

verwendet ( $α$ - Dämpfung in dB/km und $l$ - Länge des LWLs in km), weil in der Nachrichtentechnik durchweg das Verhältnis von (elektrischen ebenso wie optischen) Leistungen im dezimal-logarithmischen Maß dB (deziBel) angegeben wird:

$\alpha_{/dB}=10 \cdot \log\frac{P_0}{P_1}$

[Bearbeiten] Fernerkundung/Atmosphäre

Für die Atmosphäre wird das Lambert-Beersche Gesetz üblicherweise wie folgt formuliert:

$I = I_0\,e^{-m(\tau_a+\tau_g+\tau_{NO2}+\tau_w+\tau_{O3}+\tau_r)}$ ,

wobei die Transmissionsgrade $τ x$ enthaltener Stoffe superponiert werden, mit $x$

$a$ für Aerosole (absorbierend und streuend)
$g$ für homogene Gase wie $C O 2$ und molekularen Sauerstoff ( $O 2$ ) (ausschließlich absorbierend).
$N O 2$ für Stickstoffdioxid (absorbierend)
$w$ für Wasserdampf (absorbierend)
$O 3$ für Ozon (absorbierend)
$r$ für Rayleigh-Streuung durch molekularen Sauerstoff ( $O 2$ ) und Stickstoff ( $N 2$ ) (himmelblau).

$m$

Die Bestimmung von $τ a$ ist notwendig für die Korrektur von Satellitenbildern und beispielsweise von Interesse bei der Klimabeobachtung.

[Bearbeiten] Geschichte

Das Lambert-Beersche Gesetz ist nach den beiden Wissenschaftlern Johann Heinrich Lambert (1728 - 1777) (Abhängigkeit von Schichtdicke und transmittiertem Licht) und August Beer (1825 - 1863) (Abhängigkeit der Konzentration des Absorbanten und transmittiertem Licht) benannt.

Von „http://de.wikipedia.org../../../l/a/m/Lambert-Beersches_Gesetz_5868.html“

Kategorie: Spektroskopie