Kritischer Punkt (Mathematik)
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Eine stetig differenzierbare Abbildung einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit in eine andere besitzt an einer Stelle einen kritischen oder stationären Punkt, falls dort das Differential nicht surjektiv ist. Anderenfalls handelt es sich um einen regulären Punkt.
[Bearbeiten] Beispiel
Eine stetig differenzierbare reellwertige Abbildung in drei Variablen besitzt genau dann einen kritischen Punkt, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:
[Bearbeiten] Entartung
Mit Hilfe der Hesse-Matrix kann festgestellt werden, ob es sich um einen entarteten kritischen Punkt handelt. Dieses ist genau dann der Fall, wenn die Hesse-Matrix singulär ist. Mit Funktionen ohne entartete kritische Punkte beschäftigt sich die Morse-Theorie.
Falls keine Entartung vorliegt, kann bei reellwertigen Funktionen auch festgestellt werden, ob es sich um ein lokales Minimum, ein lokales Maximum oder einen Sattelpunkt der Funktion handelt.
Siehe auch: Kritischer Wert
