Konsistenz (Mathematik)

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In der numerischen Mathematik ist Konsistenz eine Eigenschaft eines numerischen Verfahrens, die bedeutet, dass der Algorithmus in einer gewissen grundlegenden Weise tatsächlich das gegebene Problem löst und nicht ein anderes.

Die drei in der Numerik entscheidenden Fehlerbewertungsmechanismen sind Kondition, Stabilität und Konsistenz. Alle drei Größen analysieren die Entstehung von Fehlern, unterscheiden sich aber in der "Auswahl" der Fehlerquellen. Die Konditionsbewertung geht davon aus, dass der Algorithmus genau funktioniert, jedoch die Eingabedaten gestört sind. Die Stabilität vergleicht das Ergebnis des numerischen Verfahrens mit dem des exakten Verfahrens unter gestörten Eingabedaten.

Die Konsistenz stellt sich nun die Frage was passiert, wenn die exakte Lösung im numerischen Verfahren verarbeitet wird. Die aufgeführten Beispiele sind numerische Differentiation oder Lösung eines Anfangswertproblems. Hier wird der entstehende Fehler in Abhängigkeit eines gewählten Gitters oder einer gewählten Schrittweite betrachtet.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Beispiele
- 2.1 Differentiation
- 2.2 Eulerverfahren

[Bearbeiten] Definition

Gegeben sei ein kontinuierliches Problem und die exakte Lösung dieses Problemes $u (t)$ , sowie die numerische Lösung $u h (t n)$ zu gegebener Schrittweite $h > 0$ . So heißt das Verfahren konsistent zur Ordnung $p \in \mathbb{N}$ , wenn es eine Konstante $c\ge 0$ gibt, so dass für den lokalen Fehler (das numerische Verfahren startet also mit exakten Anfangsdaten) gilt:

$\|u(t_n)-u_h(t_n)\| \le ch^p$ , für alle

t n = h n

Das bedeutet, dass man zu jedem Zeitpunkt (oder auch Ort) eine Fehlerbeschränkung in Abhängigkeit der gewählten Schrittweite hat. Es ist klar, dass in der Praxis Verfahren dieses Verhalten nur zeigen, wenn man eine hinreichend kleine Schrittweite wählt (vgl Stabilität).

Viele solcher Konsistenzabschätzungen werden mit Hilfe des Satzes von Taylor bewiesen, aus dem einfachen Grund, dass viele Verfahren die ersten Glieder der Taylorreihe (die Abhängig von einer Schrittweite h ist) entwickeln um ausgehend von der Lösung zum aktuellen Zeitpunkt die Lösung für den nächsten Zeitpunkt darzustellen:

f (x + h) = f (x) + h f'(x) / 2 + h 2 f''(ξ)

Die Konstante $c$ ist dann das Restglied $f''(ξ)$ , bzw. eine Supremumsnormabschätzung.

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Differentiation

Eine Möglichkeit, die Ableitung erster Ordnung in eine beliebige Richtung zu errechnen, ist die des zentralen Differenzenquotienten, sofern f hinreichend oft differenzierbar:

$f'(x) \approx {{f(x+h)-f(x-h)}\over{2h}}$ .

Die Taylorentwicklung

$f(x+h) = f(x) + f'(x)h + {{f''(x)h^2}\over{2}}+{{f'''( \xi )h^3}\over{6}}$

liefert dann:

${{f(x+h)-f(x-h)}\over{2h}} = f'(x)+{{f'''( \xi )h^2}\over{6}}$ .

Einsetzen und Subrahieren in der Norm liefert dann die Konsistenzordnung zwei: $O (h 2)$ .

[Bearbeiten] Eulerverfahren

Zum diskreten Lösen eines Anfangswertproblemes verwendet man Verfahren, ähnlich dem expliziten Eulerverfahren (Euler'sches Polygonzugverfahren). Dies bedeutet, dass für das Problem:

Gesucht ist $u (t)$ mit