Kommutative Algebra

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Eine kommutative Algebra ist eine Algebra, in der das Kommutativgesetz für die Multiplikation erfüllt ist.

Die Kommutative Algebra ist das Teilgebiet der Mathematik im Bereich der Algebra, das sich mit kommutativen Ringen sowie deren Idealen, Moduln und Algebren befasst. Sie ist grundlegend für die Gebiete der Algebraischen Geometrie und der Algebraischen Zahlentheorie. Ein wichtiges Beispiel für kommutative Ringe sind Polynomringe.

Als Begründer der Kommutativen Algebra kann man David Hilbert nennen. Er scheint die Idealtheorie (so wurde die Kommutative Algebra ursprünglich genannt) als alternativen Zugang zu zahlreichen Fragestellungen angesehen zu haben, der die damals dominierende Funktionentheorie ablösen könnte. In diesem Zusammenhang waren ihm strukturelle Aspekte wichtiger als algorithmische; mit der wachsenden Leistungsfähigkeit von Computer-Algebra-Systemen haben aber konkrete Berechnungen stark an Bedeutung innerhalb der Kommutativen Algebra gewonnen. Das Konzept der Moduln, das in Grundzügen auf Leopold Kronecker zurückgeht, verallgemeinert die Theorie der Ideale, die es als Spezialfall enthält. Diese Methoden wurden von Emmy Noether in die Kommutative Algebra eingeführt und sind heute unverzichtbar.

Die Theorie allgemeiner Ringe, die nicht kommutativ sein müssen, wird als Nichtkommutative Algebra bezeichnet.

[Bearbeiten] Übliche Annahmen

In der kommutativen Algebra werden üblicherweise die Bezeichnungen „Ring“, „Algebra“ und „Modul“ in einem engeren Sinn benutzt:

• alle Ringe sind kommutativ und haben ein Einselement;
• alle Algebren sind unitär, assoziativ und kommutativ;
• alle Moduln sind unitär.

[Bearbeiten] Literatur

• M. F. Atiyah; I. G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Oxford 1969, Addison-Wesley Publishing Company, Inc. ISBN 0-201-00361-9.
  Knappe Einführung, Standardwerk.
• David Eisenbud: Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag, New York 1996. ISBN 0-387-94269-6
  Umfangreiches Standardwerk.
• Hideyuki Matsumura: Commutative Ring Theory. Cambridge University Press, Cambridge 1989. ISBN 0-521-36764-6
• Hideyuki Matsumura: Commutative Algebra. W. A. Benjamin, New York 1970.
  Umfangreicher als Commutative Ring Theory, aber vergriffen.