Kolmogorov-Gleichung
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Die Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov-Gleichung (KPP-Gleichung, oder auch Fishers-Gleichung) ist eine partielle Differentialgleichung der Form:
Sie ist eine semilineare parabolische Gleichung zweiter Ordnung. Die Gleichung wird verwendet, um verschiedene Vorgänge in der Natur zu modellieren. Sie wird beispielsweise bei der Populationsdynamik und der Beschreibung von chemischen Reaktionen verwendet.
Die Differentialgleichung besteht aus einem Diffusionsterm und einem nichtlinearen Reaktionsterm u − u2.
Verwendet man eine ortsunabhänige Funktion u(x,t) = f(t), so erhält man die gewöhnliche Differentialgleichung
An dieser kann man erkennen, dass mit dem Modell ein exponentielles Wachstum modelliert wird, das jedoch einen Sättigungsterm − f2 enthält, der z.B. bei chemischen Reaktionen die Sättigung der Konzentration oder bei der Populationsdynamik für die begrenzte Nahrungsversorgung steht.
[Bearbeiten] Reaktionsfronten
Verwendet man die Gleichung zur Modellierung einer örtlich lokalisiert startenden Reaktion, so ist klar, dass sich eine Reaktionsfront ausbildet. Diese besitzt wie man zeigen kann eine minimale Ausbreitungsgeschwindigkeit.
Verwendet man den für Wellen üblichen Ansatz
- u(x,t) = f(x − vt) = f(w)
so erhält man nach Einsetzen die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung
Nach Linearisierung und unter der Annahme, dass die "Konzentration" f nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen kann, erhält man die Geleichung für die Eigenwerte
Da diese für stabile Wellen reell sein müssen, muss also gelten
[Bearbeiten] Verallgemeinerungen
Die Gleichung kann noch verallgemeinert werden zu:
mit einer positiven ganzen Zahl m.