Irreduzibler topologischer Raum

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Der Begriff des irreduziblen topologischen Raumes gehört zum mathematischen Teilgebiet der mengentheoretischen Topologie, findet jedoch hauptsächlich in der algebraischen Geometrie Anwendung.

[Bearbeiten] Definition

Ein nichtleerer topologischer Raum $X$ heißt irreduzibel, wenn eine und damit alle der folgenden Bedingungen erfüllt sind:

$X$ ist nicht die Vereinigung zweier abgeschlossener echter Teilmengen.
Je zwei nichtleere offene Teilmengen von $X$ schneiden sich.
Jede nichtleere offene Teilmenge von $X$ ist dicht in $X$ .
Jede offene Teilmenge von $X$ ist zusammenhängend.

Eine Teilmenge eines topologischen Raumes heißt irreduzibel, wenn sie mit der induzierten Topologie ein irreduzibler Raum ist.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Irreduzible Räume sind zusammenhängend.
Offene Teilmengen irreduzibler Räume sind irreduzibel.
Eine Teilmenge $Y$ eines topologischen Raumes $X$ ist genau dann irreduzibel, wenn ihr Abschluss $\bar Y$ in $X$ irreduzibel ist.
Ist $X$ ein irreduzibler Raum und $f\colon X\to Y$ eine stetige Abbildung, so ist $f (X)$ und somit auch $\overline{f(X)}$ irreduzibel.
Ist $x$ ein Punkt eines beliebigen topologischen Raumes $X$ , so ist der Abschluss $Y$ der Teilmenge ${x}$ in $X$ irreduzibel, und $x$ ist ein generischer Punkt von $Y$ .
In einem Hausdorffraum besteht jede irreduzible Teilmenge aus einem einzelnen Punkt.

[Bearbeiten] Verwandte Begriffe

Ein topologischer Raum heißt nüchtern, wenn jede irreduzible Teilmenge einen generischen Punkt besitzt. Erfüllt der Raum $X$ zusätzlich das Trennungsaxiom T₀, so definiert

$x\mapsto\overline{\{x\}}$