IP-Menge

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In der Mathematik bezeichnet der Begriff IP-Menge eine Menge natürlicher Zahlen, die alle endlichen Summen einer unendlichen Menge enthält.

Die endlichen Summen einer Menge D von natürlichen Zahlen sind die Zahlen, die sich als Summe der Elemente einer nichtleeren endlichen Teilmenge von D darstellen lassen. Die Menge aller endlichen Summen von D wird auch als FS(D) bezeichnet; dabei steht FS für Finite Sums.

Eine Menge A von natürlichen Zahlen ist eine IP-Menge, falls eine unendliche Menge D existiert, so dass FS(D) in A enthalten ist.

Manchmal wird auch eine leicht abweichende Definition verwendet: man verlangt dann, dass sogar A=FS(D) für ein passendes D ist..

Die Bezeichnung IP-Menge (IP-set) geht auf Furstenberg und Weiss zurück; IP steht dabei für "Infinite-dimensional Parallelepiped".

[Bearbeiten] Der Satz von Hindman

Der Satz von Hindman, oder auch das Finite Sums Theorem, lautet wie folgt:

Ist eine IP-Menge und , so ist wenigstens eine der Mengen eine IP-Menge.

Da die Menge der natürlichen Zahlen selbst auch eine IP-Menge ist und man Partitionen auch als Färbungen auffassen kann, lässt sich folgender Spezialfall des Satzes von Hindman formulieren:

Sind die natürlichen Zahlen mit n Farben gefärbt, so gibt es für mindestens eine Farbe c eine unendliche Menge D, so dass alle Elemente von D und sogar alle endlichen Summen von D die Farbe c haben.

[Bearbeiten] Halbgruppen

Die IP-Eigenschaft kann man nicht nur für die natürlichen Zahlen, die mit der Addition eine Halbgruppe bilden, definieren, sondern auch ganz allgemein für Halbgruppen und partielle Halbgruppen.

[Bearbeiten] Quellen

1. V. Bergelson, I. J. H. Knutson, R. McCutcheon Simultaneous diophantine approximation and VIP Systems Acta Arith. 116, Academia Scientiarum Polona, (2005), 13-23
2. V. Bergelson Minimal Idempotents and Ergodic Ramsey Theory Topics in Dynamics and Ergodic Theory 8-39, London Math. Soc. Lecture Note Series 310, Cambridge Univ. Press, Cambridge, (2003)
3. V. Bergelson, N. Hindman Partition regular structures contained in large sets are abundant J. Comb. Theory (Series A) 93 (2001), 18-36
4. H. Furstenberg, B. Weiss, Topological Dynamics and Combinatorial Number Theory, J. d'Analyse Math. 34 (1978), 61-85
5. J. McLeod Some Notions of Size in Partial Semigroups Topology Proceedings, Vol. 25 (2000), 317-332