Index (Gruppentheorie)

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Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie ist der Index einer Untergruppe ein Maß für die relative Größe zur gesamten Gruppe.

[Bearbeiten] Definition

Es sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe. Dann sind die Menge G / U der Linksnebenklassen und die Menge der Rechtsnebenklassen gleichmächtig; ihre Mächtigkeit ist der Index von U in G und wird mit (G:U) bezeichnet.

[Bearbeiten] Eigenschaften

• Es gilt (G:1) = | G | . (Dabei bezeichnet | G | die Ordnung von G.)

• Der Index ist multiplikativ, d.h. ist U eine Untergruppe von G und V eine Untergruppe von U, so gilt

• Der Spezialfall V = 1 wird oft als Satz von Lagrange (nach J.-L. Lagrange) bezeichnet:

Für eine Gruppe G und eine Untergruppe U gilt:

Im Fall von endlichen Gruppen kann man den Index einer Untergruppe also als

berechnen.

• Untergruppen vom Index 2 sind stets Normalteiler.

[Bearbeiten] Topologische Gruppen

Im Kontext von topologischen Gruppen spielen Untergruppen von endlichem Index eine Sonderrolle:

• Eine Untergruppe von endlichem Index ist genau dann offen, wenn sie abgeschlossen ist. (Offene Untergruppen sind stets abgeschlossen.)
• Jede offene Untergruppe einer kompakten Gruppe hat endlichen Index.