Henselsches Lemma
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Das henselsche Lemma (nach K. Hensel) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra.
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[Bearbeiten] Formulierung
Es sei K ein vollständig bewerteter Körper mit Bewertungsring A und Restklassenkörper k. Ist nun ![f\in A[X]](../../../math/c/9/6/c96ad669bd3df95b9703f088ef19bad6.png)
ein Polynom, dessen Reduktion ![\bar f\in k[X]](../../../math/c/7/6/c7664d19a39dcf09c07472472749c6e7.png)
das Produkt zweier teilerfremder Polynome ![\bar g,\bar h\in k[X]](../../../math/e/6/2/e62b0f5e13f71f3904d59c7454ea399e.png)
ist, so gibt es Polynome ![g,h\in A[X]](../../../math/8/c/4/8c41b520cf133d947857bc0732d92a3e.png)
, so dass f = gh gilt und 
bzw. 
die Reduktion von g bzw. h ist.
[Bearbeiten] Beispiele
- Das henselsche Lemma kann dazu benutzt werden, um zu zeigen, dass der Körper der p-adischen Zahlen die (p − 1)-ten Einheitswurzeln enthält:
- Es sei
der Körper der p-adischen Zahlen für eine Primzahl p, 
, 
. Das Polynom f(X) = Xp − 1 − 1 zerfällt über k in Linearfaktoren
- also gibt es Polynome
![g_1,\ldots,g_{p-1}\in\mathbb Z_p[X]](../../../math/2/7/a/27ac330c12333c1d3e64344ec9d4b73f.png)
, so dass
- gilt. Die Polynome gi haben notwendigerweise die Form g(X) = aX + b mit
, man kann also a = 1 annehmen, d.h. es gibt 
, so dass
- gilt, d.h.
sind die (p − 1)-ten Einheitswurzeln.
![\bar f(X)=X^{p-1}-1=(X-1)(X-2)\cdots(X-(p-1)),\quad(\mathrm{in}\ \mathbb F_p[X])](../../../math/e/f/f/effb27440eb9670423c610d9529b8151.png)
![X^{p-1}-1=(X-\zeta_1)\cdots(X-\zeta_{p-1})\quad(\mathrm{in}\ \mathbb Z_p[X])](../../../math/3/2/e/32ec0d1eb6262fa1ea7a13e2da71ccf2.png)
- Es seien K,A,k wie oben, aber f(X) = Xp − 1. Dann ist
, es gibt also keine Zerlegung von 
in teilerfremde Faktoren, das henselsche Lemma ist also nicht anwendbar.
[Bearbeiten] Verwandte Begriffe
Die Voraussetzung, dass K vollständig ist, ist eigentlich zu stark. Allgemein nennt man bewertete Körper K bzw. Ringe A, in denen das henselsche Lemma in der oben angegebenen Form gilt, henselsch.
[Bearbeiten] Literatur
- Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6
