Hamilton-Jacobi-Formalismus

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Beim Hamilton-Jacobi-Formalismus (benannt nach den Mathematikern William Rowan Hamilton und Carl Gustav Jakob Jacobi) wird durch eine besondere kanonische Transformation eine Hamilton-Funktion erzeugt, die gleich Null ist. Dies hat zur Folge, dass sowohl die transformierten Ortskoordinaten q, als auch ihre kanonisch konjugierten Impulskoordinaten p Erhaltungsgrößen sind, dass also alle dynamischen Größen in der neuen Hamilton Funktion zyklische Koordinaten sind. Die transformierte Hamilton Funktion erhält man, indem man zur untransformierten Hamilton Funktion die partielle Zeitableitung einer erzeugenden Funktion S addiert.

$\tilde{H} = H + \frac {\partial S}{\partial t}$

mit

$\tilde{H} = 0$

Damit ist:

$\frac {\partial \tilde {H}}{\partial p_k} = \dot q_k = 0 \Leftrightarrow q_k = const$

$-\frac {\partial \tilde {H}}{\partial q_k} = \dot p_k = 0 \Leftrightarrow p_k = const$

Eine solche Erzeugende S zu finden gilt oftmals als eine hohe Kunst.

[Bearbeiten] Hamilton-Jacobi-Formalismus für nicht explizit zeitabhängige Hamiltonfunktion

Ziel des Hamilton-Jacobi-Formalismus ist die Vereinfachung der Hamiltonschen Bewegungsgleichung mittels kanonischer Transformation. Dies geschieht dergestalt, dass zu der alten Hamiltonfunktion, die von den alten Impulsen und Orten abhängt, eine erzeugende Funktion $S (q, p')$ konstruiert wird, die sie in eine neue Hamiltonfunktion transformiert, welche nur noch von den neuen Impulsen abhängen soll:

$H(p,q) \Rightarrow \tilde{H}(p')$

Für konservative Systeme soll dann gelten:

$\dot p' = -\frac {\partial \tilde {H}(p')}{\partial q} = 0 \Leftrightarrow p' = const$

$\dot q' = \frac {\partial \tilde {H}(p')}{\partial p} = const = C \Leftrightarrow q = q't + b$ mit $b = c o n s t$

Wird nun eine erzeugende Funktion $S (q, p')$ gefunden, welche $H (p, q)$ auf $\tilde {H}(p')$ transformiert, so sind die neuen Impulse Konstanten der Bewegung. Die neuen Orte ändern sich nur linear mit der Zeit. Für $S (q, p')$ muss gelten:

$p = \frac {\partial S(q,p')}{\partial q}$

$q' = \frac {\partial S(q,p')}{\partial p}$

Eingesetzt in die Hamiltonfunktion ergibt sich:

$H(q,p) \Rightarrow H(q,\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}) = \tilde {H}(p')$

Wir haben nun die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für konservative Systeme. Aus dieser Differentialgleichung lässt sich dann $S (q, p')$ bestimmen.

Zur Veranschaulichung von S bilden wir die totale Zeitableitung:

$\frac {d}{dt}S(q,p') = \frac {\partial S}{\partial q} \dot q + \frac {\partial S}{\partial p} \dot p' = p\dot q + q'\dot p'$

da $\dot p' = 0 \Rightarrow \frac {d}{dt}S(q,p') = p\dot q = \frac {\partial L}{\partial \dot q}\dot q = \frac {\partial T}{\partial \dot q}\dot q = 2T$

Die zeitliche Integration liefert dann:

$S = \int_{t_1}^{t_2} 2T\ dt = W$

$S (q, p')$ ist also identisch mit dem Wirkungsintegral.

[Bearbeiten] Beispiel: Der eindimensionale harmonische Oszillator

Sei U = U(q) ein beliebiges Potential. Die Hamiltonfunktion lautet:

$H(p,q) = \frac {p^2}{2m} + U(q)$

Und die Hamilton-Jacobi-Gleichung:

$\frac {1}{2m} (\frac{\partial S(q,p')}{\partial q})^2 + U(q) = \tilde H = E$

Nun ist beim eindimensionalen Oszillator $\tilde H$ die einzige Konstante der Bewegung. Da p' ebenfalls konstant sein muss, setzen wir $p' = \tilde H = E$ . Für konservative Systeme lässt sich immer ein $p' = \tilde H$ setzen. Wir erhalten damit: