Halbring (Algebraische Struktur)
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Ein Halbring ist eine algebraische Struktur mit zwei zweistelligen Verknüpfungen, die gewisse Bedingungen erfüllen müssen.
Das Tripel , wobei S eine Menge ist und zweistellige Verknüpfungen auf S sind, heißt Halbring oder Semiring, wenn folgende Axiome erfüllt sind:
- (S, + ) ist eine Halbgruppe.
- ist eine Halbgruppe.
- Es gelten die Distributivgesetze, d.h. für alle gilt
-
- sowie
- Man sagt auch: distribuiert über + .
Wenn (S, +) kommutativ ist, so wird als additiv kommutativer Halbring bezeichnet. Ist kommutativ, so spricht man von einem multiplikativ kommutativen Halbring.
Die Existenz von Nullelement und Einselement ist keine notwendige Bedingung - existieren sie jedoch und sind folglich (S, + ,0S) und Monoide, so wird die Struktur als Dioid bezeichnet.
Mitunter werden Dioide und Halbringe allerdings nicht streng unterschieden, sondern letztere wie Dioide definiert.
[Bearbeiten] Beispiele
- ;
- ist sogar ein Halbkörper.
- min , die sogenannte Min-Plus-Algebra;