Gnomon

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Der Gnomon (griechisch Gnomon (γνώμων): der Schattenzeiger) ist ein meist stabförmiger Körper, dessen Sonnenschatten beobachtet wird, um astronomische Größen zu bestimmen.

Heute wird der Gnomon fast ausschließlich als Zeiger einer Sonnenuhr zur Bestimmung der Ortszeit verwendet. In der Antike wurde der Gnomon auch zur Bestimmung der geografischen Breite eines Ortes, der Nordrichtung, der Tagundnachtgleichen (Äquinoktien) und der Sonnenwenden (Solstitien) verwendet. Dazu wurde der Gnomon als einfacher Stab, als Obelisk, oder als besonderes Bauwerk ausgeführt. Allen Gnomonen gemeinsam ist die besondere Ausführung der Zeigerspitze: Damit der Schatten scharf abgebildet wird und damit präzise ablesbar ist, wird sie als gerade Kante, Spitze, Lochblende oder Kugel ausgeführt.

Bei der Sonnenuhr finden wir den Gnomon nicht nur in lotrechter Aufstellung, wie beim Obelisken, sondern auch parallel zur Erdachse ausgerichtet.

Die Beschreibung der mathematischen und astronomischen Zusammenhänge zwischen Ausführung, Aufstellung und Ausrichtung des Gnomons sowie der Projektion seines Schattens auf eine in der Regel ebene oder sphärische Fläche ist eine Aufgabe der Gnomonik. Die Gnomonik als Lehre von der Sonnenuhr umfasst auch die Teilung des Zifferblattes derselben zur Ablesung des Schattens.

Kugelspitze eines Kirchturms (der kleine hintere Turm)

Stabgnomon im Schnittpunkt der Stundengeraden

Obelisk mit Pyramidenspitze

Lochgnomon einer Sonnentaschenuhr mit gleichförmig geteiltem Ringzifferblatt

Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte des Gnomons 2 Mathematische Grundlagen zur Nutzung des Gnomons 2.1 Projektion des Gnomons auf ein Ziffernblatt 2.2 Konstruktion nach dem Analemma des Vitruv 3 Antike Messungen mit dem Gnomon 4 Begriffsverwendung in der Geometrie. 5 Siehe auch 6 Literatur 7 Weblinks

[Bearbeiten] Geschichte des Gnomons

Auf einer babylonischen Tontafel aus der Zeit um 2300 v.Chr. sind die Schattenlängen eines Gnomons zu verschiedenen Zeiten aufgezeichnet. Die Ägypter haben ihre Pyramiden vor mehr als 2000 Jahren mit Hilfe des Schattenwerfers nach Nord-Süd ausgerichtet. Die Griechen haben das Prinzip des Gnomons laut Herodot (ca. 485-425 v.Chr.) von den Babyloniern übernommen, wenngleich andere Quellen die Erfindung des Gnomons Anaximandros aus Milet (Anfang des 6. Jh. v. Chr.) zuschreiben. Bei den Chinesen war der Schattenstab 300 v. Chr. bereits bekannt.

Ab dem 4. Jahrhundert v. Chr. wurde die Anwendung des Gnomons sowohl in der Praxis als auch in der Theorie durch die Griechen und später die Römer verbessert:

• Berossos (um 350 v. Chr), babylonischer Priester, Astrologe und Historiker, hat die parallaktische Aufstellung verwendet.

• Pytheas von Massilia (ca. 380 bis 310 v. Chr.), Händler, Geograf und einer der großen Entdecker der Antike, bestimmte mit Hilfe der unterschiedlichen Schattenlänge seiner Sonnenuhr die Entfernung von der Nordspitze Schottlands zum Heimathafen Massilia und kam auf 1.700 Kilometer (tatsächlich: 1.815 km).

• Aristarchos von Samos (ca. 310 bis 230 v. Chr.), verbesserte die Anwendung des Gnomons bei der Sonnenuhr durch die Aufstellung des Stabes in der Mitte einer Halbkugelschale ( gr.: Skaphe).

• Eratosthenes von Kyrene (*ca. 284 bis 202 v. Chr. ), Mathematiker, Geograf, Historiker, Philologe und Dichter berechnete 225 v.Chr. den Erdumfang zu 252.000 Stadien aus dem unterschiedlichen Schattenwurf an zwei Orten (Alexandria am Mittelmeer und Syene am Wendekreis), deren geografische Breite sich um 1/50 (7,2°) unterschied. Das Ergebnis seiner Messungen mit dem dazu lotrecht aufgestellten skiotherikós gnomon (gr. skiá : Schatten thēráō : fangen) stimmt mit heutigen Daten mit einer Genauigkeit von ca. 5% überein.

• Marcus Vitruvius Pollio, Architekt und Ingenieur im Heeresdienst Julius Caesars und des Kaisers Augustus, beschreibt in seinem Werk „Zehn Bücher über die Architektur“ (vor 22 v.Chr.) die geometrische Konstruktion zur richtigen, von der geografischen Breite abhängigen, Aufstellung eines Gnomons.

[Bearbeiten] Mathematische Grundlagen zur Nutzung des Gnomons

[Bearbeiten] Projektion des Gnomons auf ein Ziffernblatt

Die Abbildung der Sonne durch die Spitze des Gnomons ist eine Zentralprojektion. Sie wird wegen ihrer Entwicklung im Zusammenhang mit der Gnomonik auch Gnomonische Projektion genannt. Das Projektionszentrum, hier die Spitze des Gnomons, liegt bei der Gnomonischen Projektion im Zentrum der Erde. Diese Vereinfachung ist für die Aufgabenstellung zulässig, da die Sonne soweit entfernt ist, dass die Parallaxe aufgrund des Erdradius vernachlässigbar ist. Die Abbildung [6] zeigt eine Gnomonische Projektion mit lotrechtem Gnomon und allgemeiner (d.h. schiefer) Lage der Projektionsfläche. Die Projektionsfläche ist z.B. die Fläche des Ziffernblattes einer Sonnenuhr. Alle Großkreise wie der Äquator und der durch den Standort verlaufende Meridian werden bei der Gnomonischen Projektion als Geraden abgebildet. Da die Stundenkreise der Erde ebenfalls Längenmeridiane sind, werden sie auf dem Ziffernblatt als ein Geradenbüschel abgebildet, das im Durchstoßpunkt der Erdachse durch die Projektionsfläche konvergiert. Die Breitenkreise –und damit auch die Wendekreise- werden als Hyperbeln abgebildet. Damit ist ersichtlich, dass der Schatten der Gnomonspitze zur Tagundnachtgleiche (Äquinoktium) von Sonnenaufgang bis –untergang auf einer Geraden verläuft und dabei das Geradenbüschel der Stundenkreise schneidet. Zur Sonnenwende bewegt er sich auf einer Hyperbel und schneidet dabei über den Tagesverlauf die gleichen Stundenlinien.

Die Ausrichtung des Gnomons ist für die Ablesbarkeit der Uhrzeit von Bedeutung. Abb. [6] zeigt, dass der Schatten des lotrechten Gnomonstabes die Stundengeraden schneidet. Deshalb kann eine Ablesung nur an der Schattenspitze erfolgen. Würde der Stab im Durchstoßpunkt der Erdachse durch die Projektionsfläche aufgestellt und dann in Richtung der Erdachse verbogen, so würde sein Schatten ebenso wie die Stundengeraden vom Durchstoßpunkt aus radial nach außen verlaufen. Somit würde jeder Punkt des Schattens die Zeit richtig zeigen.

Die Lage der Projektionsfläche ist entscheidend für die Einteilung des Ziffernblattes: Die Taschensonnenuhr hat ein ausrichtbares kreisförmiges Ziffernblatt und repräsentiert damit auch die Abbildungseigenschaften der Skaphe des Aristarchos. Ein Beispiel für das Ziffernblatt bei Ausrichtung der Projektionsfläche parallel zum Äquator und dazu lotrechtem Gnomon gibt Abb. [7]. Der leicht erkennbare Vorteil dieser Auslegung als Sonnenuhr ist - wie auch bei der Taschensonnenuhr mit Ringskala - die gleichförmige Unterteilung des Ziffernblattes in 24 Sektoren von jeweils 15°, entsprechend einer Stunde. Damit ist der Entwicklungsschritt zu einer gleichförmigen Zeit vollzogen. Im Gegensatz zu dieser wurde bis ins ausgehende Mittelalter noch eine ungleichförmige Zeit, d.h. mit unterschiedlichen Stundenlängen über das Jahr gemessen.

[Bearbeiten] Konstruktion nach dem Analemma des Vitruv

Im Neunten seiner "Zehn Bücher über die Architektur" beschreibt Vitruv, wie ein Gnomon nach den Methoden der Darstellenden Geometrie allein mit Hilfe von Lineal und Zirkel in der Seitenansicht zu konstruieren ist. Als Beispiel nimmt er das Verhältnis Schattenlänge zu Gnomonlänge, wie es zu den Äquinoktien für Rom gültig ist. Die Gnomonspitze befindet sich im Zentrum A des Projektionskreises, welcher den Meridian des Standpunktes darstellt. Aus dem Tangens der geografischen Breite von Rom, d.h. aus dem äquinoktialem Längenverhältnis Schatten zu Gnomon (8:9; C-B:A-B) lässt sich der Äquator und damit der Verlauf des Sonnenstrahls N-A-C zum Sonnenhöchststand am Mittag auftragen. Parallele Sekanten L-G und K-H zum Äquator im Abstand von 1/15 Kreisumfang (24°) approximieren die jeweiligen Bahnebenen der Sonne zu den Solstitien. Zur Wintersonnenwende wird die Sonne von K über A nach T projiziert. Zur Sommersonnenwende wird sie von L über A nach R abgebildet. In der Seitenansicht bewegt sich die Sonne sich auf diesen Solstitien-Sekanten innerhalb des Meridiankreises einmal am Tag auf und ab. Somit sind die Schnittpunkt S und V dieser Bahnen mit dem Äquator die Konstellation bei Sonnenaufgang und –untergang. Die zugehörige Zeit zur Tagesposition der Sonne kann ermittelt werden, wenn um die jeweilige Sekante der Sonnenbahn ein (Halb-) Kreis geschlagen wird, der in Stundenwinkeln a 15° unterteilt wird. In Abb. [8] ist die Zeitablesung für den Sonnenauf- und -untergang am Tag der Sommersonnenwende durch die Linie S - SA-SU dargestellt. Den Bereich zwischen Sommer – und Wintersonnenwende unterteilt Vitruv mit Hilfe des Menaeus, des Monats- oder Tierkreises. Auf diesem wird die dem gewünschten Kalendertag eines Monates entsprechende Position aufgetragen und durch diesen Punkt eine Parallele zum Äquator gezogen. Das ergibt die Sekante der Sonnenbahn dieses Tages. Ihr oberer Schnittpunkt mit dem Meridiankreis ergibt den Projektionsstrahl für die Mittagssonne. Um die Sonnenhöhe während der Tagesstunden ermitteln zu können, wird wieder ein Halbkreis mit entsprechender Stundenteilung um diese Sekante geschlagen. Der Schnittpunkt des Projektionsstrahles mit der Ziffernblatt-Ebene ergibt die Schattenlänge für die gewählte Tageszeit und den gewählten Tag. Das zugehörige Azimut (die Himmelsrichtung) in welcher der Schatten auf dem Ziffernblatt zeigt, ist im zugehörigen Halbkreis als Stundenwinkel im Schnittpunkt der Sekante mit der Erdachse Q-P abzulesen.

[Bearbeiten] Antike Messungen mit dem Gnomon

Für die geografische Ortsbestimmung müssen Länge und Breite eines Ortes festgelegt werden. Bezugspunkt für die Breite ist dabei der Äquator. Für die Länge muss ein Bezugspunkt vereinbart werden: Heute ist das der Meridian durch die Sternwarte von Greenwich. Im Altertum hat man eine bekannte Stadt z.B. Alexandria als Bezugspunkt gewählt. Von dieser aus konnte dann durch Bestimmung der Richtung und Entfernung zum nächsten Ort dessen Länge festgelegt werden. Diese Messung musste in der Praxis durch Zerlegung der Strecke in einzelne nach Richtung und Länge bestimmte Abschnitte (Polygonierung) erfolgen.

Bestimmung der Nordrichtung und der geografischen Breite

Zur Bestimmung der Nordrichtung werden um den Gnomon mehrere Kreise gezogen (s. Abb. [9]). Die Sonne schneidet jeden Kreis einmal am Vormittag (V) und einmal am Nachmittag (N). Die Nordrichtung ist die Winkelhalbierende der jeweiligen Schenkelpaare zu V und N. Das Verfahren kann zur Genauigkeitssteigerung an verschiedenen Tagen oder wie in Abb. [9] dargestellt mit verschiedenen Kreisen wiederholt werden.

Zur Tagundnachtgleiche steht die Sonne in der Äquatorebene. Dann entspricht das zu Mittag (Höchststand der Sonne) gemessene Verhältnis Schattenlänge : Stablänge dem Tangens der geografischen Breite (s. Abb. [10]). In der Literatur der Antike wurde die Breite dementsprechend auch als das äquinoktiale Schattenverhältnis angegeben. Die Literatur berichtet für

• Alexandria 3 zu 5 (Strabon II, 5, 38)
• Massila (Marseille) (Pytheas) und Byzantion (Hipparchos)120 zu 41,8
• Rom 8 zu 9 (Vitruv)
• Rhodos 5 zu 7 (Vitruv)
• Tarent 9 zu 11 (Vitruv)
• Athen 3 zu 4 (Vitruv)

Die Äquinoktialschatten sind allerdings nur schwer zu ermitteln. Aus Abb. [8] ist aber ersichtlich, dass die entsprechende Schattenline auf der Winkelhalbierenden der beiden Solstitienschatten liegt. Diese sind aber sehr wohl beobachtbar. Somit kann die geografische Breite aus den beiden Beobachtungen zur Winter- und zur Sommersonnenwende gemittelt werden.

Da die Sonne eine relative große Ausdehnung als Lichtquelle hat, wirft sie keinen scharf abgegrenzten Schatten. Die Ablesung ist daher ungenau. Eine Scheibe mit Lochblende oder eine Kugel wurde daher zur Verbesserung der Ablesegenauigkeit an der Gnomonspitze befestigt. Die Kugel finden wir heute noch auf unseren Kirchtürmen.

Aktuelle Forschungen zu antiken astro-geodätischen Messinstrumenten rechtfertigen die Annahme, dass bereits bei den Griechen für diese Vermessungen speziell gefertigte komplexe Messinstrumente auf der Basis des Schattenzeigers verwendet wurden, welche in ihrer funktionalen Ausprägung ähnlich der Abb. [11] konstruiert waren.

[Bearbeiten] Begriffsverwendung in der Geometrie.

In der Mathematik, speziell in der planaren Geometrie, bezeichnet der Begriff Gnomon die Restfläche zwischen zwei ähnlichen Figuren. Diese Konstruktion war schon in der griechisch-hellenistischen Mathematik bekannt und bezeichnete eine geometrische Figur, die entsteht, wenn man aus einem Parallelogramm ein ihm ähnliches und ähnlich gelegenes so ausschneidet, dass es eine Ecke mit dem ursprünglichen Parallelogramm gemeinsam hat.

[Bearbeiten] Siehe auch

Sonnenuhr, Gnomonik, Obelisk, Gnomonische Projektion

[Bearbeiten] Literatur

• La gnomonique pratique, ou l'art de tracer les cadrans solaires avec la plus grande précision, de Dom François Bedos de Celles, 1760 Réédition fac-simile datée de 1978 par la librairie Laget à Paris, en 500 exemplaires.
• Karlheinz Schaldach, Römische Sonnenuhren, Harri Deutsch, Frankfurt/Main, 2001, ISBN 3-8171-1649-7
• Vitruvius, Vitruvii De architectura libri decem = Zehn Bücher über die Architektur, übers. und mit Anm. vers. Von Curt Fensterbusch, Primus Verlag, Darmstadt, ISBN 3-89678-005-0
• Helmut Minow, Schattenmessung mit dem Gnomon, Zeitschrift für Geodäsie, Geoinformation und Landmanagement, Heft 4/2005, ISSN 1618-8950
• Dieter Lelgemann, Eberhard Knobloch, Andreas Fuls, Andreas Kleineberg, Zum antiken astro-geodätischen Messinstrument Skiotherikós Gnomon, Zeitschrift für Geodäsie, Geoinformation und Landmanagement, Heft 4/2005, ISSN 1618-8950

[Bearbeiten] Weblinks

• Bestimmung der geografischen Lage aus einer einzigen Schattenmessung